Какова площадь боковой поверхности вписанной в правильную треугольную призму сферы радиусом 13 вписанной в основание

Чтобы решить данную задачу, мы должны разбить ее на несколько шагов и рассмотреть каждый шаг подробно. Давайте начнем!

Шаг 1: Понять, что такое правильная треугольная призма и вписанная в нее сфера.

Правильная треугольная призма - это призма, у которой основание является правильным треугольником, а все боковые грани являются равнобедренными треугольниками.

Вписанная сфера - это сфера, которая полностью помещается внутрь другой фигуры. В данном случае она вписывается в основание призмы.

Шаг 2: Понять, что такое площадь боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности призмы - это сумма площадей всех боковых граней призмы.

Шаг 3: Найти площадь боковой поверхности вписанной в правильную треугольную призму сферы радиусом 13, вписанной в основание призмы.

Для нахождения площади боковой поверхности вписанной сферы мы должны учитывать, что треугольная призма имеет три равные боковые грани, и каждая боковая грань треугольной призмы подразумевает усеченную пирамиду, которая имеет в себе вписанную сферу с радиусом 13.

Поэтому чтобы найти площадь боковой поверхности вписанной сферы, нам необходимо найти сумму площадей всех боковых граней треугольной призмы, которые имеют форму усеченных пирамид.

Для каждой такой пирамиды, площадь боковой поверхности может быть найдена по формуле:

\[S_{\text{пирамиды}} = \pi r \cdot l\]

где \(S_{\text{пирамиды}}\) - площадь боковой поверхности пирамиды, \(r\) - радиус вписанной сферы (у нас радиус сферы равен 13) и \(l\) - образующая пирамиды.

Так как наша треугольная призма имеет три равные боковые грани, то ее площадь боковой поверхности будет равна сумме площадей трех таких пирамид. Поэтому:

\[S_{\text{боковых граней}} = 3 \cdot S_{\text{пирамиды}}\]

Так как у нас в каждой пирамиде вписанная сфера идеально вписывается в треугольник, то образующая пирамиды равна высоте треугольника. Обозначим высоту треугольника как \(h\).

Теперь у нас есть все необходимые данные для решения задачи. Предлагаю подставить значения в формулу и решить задачу.

\[S_{\text{боковых граней}} = 3 \cdot \pi \cdot 13 \cdot h = 39 \pi h\]

Ответ: Площадь боковой поверхности вписанной в правильную треугольную призму сферы радиусом 13, вписанной в основание призмы, равна \(39 \pi h\), где \(h\) - высота треугольника основания призмы.