Какова площадь боковой поверхности треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна 2 корня из 3, а боковые

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем ее на несколько частей и посмотрим, как решить каждую из них.

1. Найдем площадь боковой поверхности треугольной пирамиды. Поскольку у нас есть информация о стороне основания и угле, мы можем использовать формулу $S=\frac{1}{2}\times a\times p$, где $a$ - длина основания, а $p$ - периметр треугольника основания. В данном случае, сторона основания равна $2\sqrt{3}$, а периметр вычисляется как $3\times a$. Подставляя значения, получаем:

$$S=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times 3\times 2\sqrt{3}$$

Выполняя простые вычисления, получаем площадь боковой поверхности треугольной пирамиды, равную $18\sqrt{3}$.

2. Чтобы найти объем пирамиды, мы можем использовать формулу $V=\frac{1}{3}\times S_{\text{осн}}\times h$, где $S_{\text{осн}}$ - площадь основания, а $h$ - высота пирамиды. В данной задаче, площадь основания равна $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ (это площадь равностороннего треугольника, вычисляется по формуле $\frac{\sqrt{3}}{4}\times a^2$), а высоту мы можем найти по теореме Пифагора. Поскольку основание треугольника равностороннее, то высота будет равна $\sqrt{3}$. Подставляя значения, получаем:

$$V=\frac{1}{3}\times \frac{3\sqrt{3}}{2}\times \sqrt{3}$$

Выполняя вычисления, получаем объем пирамиды, равный $\sqrt{3}$.

3. Чтобы найти угол между боковым ребром и плоскостью основания, давайте проведем линию от вершины пирамиды до середины основания. Тогда у нас получится прямоугольный треугольник, так как одна сторона - это половина основания, равная $\sqrt{3}$, а другая сторона - это высота пирамиды, равная $\sqrt{3}$. Используя теорему Пифагора, мы можем найти гипотенузу этого треугольника. Подставляя значения, получаем:

$$c^2=(\sqrt{3}{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2$$
$$c^2=3+3$$
$$c^2=6$$
$$c=\sqrt{6}$$

Теперь мы можем использовать косинусную теорему, чтобы найти угол $\theta$ между боковым ребром и плоскостью основания. Косинус угла выражается как $cos(\theta )=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$, где $a$ и $b$ - это стороны треугольника. В нашем случае, $a=b=\sqrt{3}$, $c=\sqrt{6}$. Подставляя значения, получаем:

$$cos(\theta )=\frac{(\sqrt{3}{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2-(\sqrt{6}{)}^2}{2\times \sqrt{3}\times \sqrt{3}}$$

Выполняя вычисления, получаем $cos(\theta )=\frac{3-6}{6}=-\frac{1}{2}$. Используя тригонометрическую таблицу, мы можем найти, что $\theta ={120}^{\circ }$.

4. Чтобы найти площадь сферы, вписанной в пирамиду, нам нужно знать радиус этой сферы. Для этого можно использовать свойство равнобедренной пирамиды: высотка из вершины пирамиды делит основание пирамиды пополам. Значит, у нас образуется прямоугольный треугольник, в котором одна из катетов равна радиусу вписанной сферы. Другой катет - это радиус описанной окружности пирамиды, которая равен половине длины основания: $\sqrt{3}$. Используя теорему Пифагора, мы можем найти радиус вписанной сферы.

$$r^2=(\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2$$
$$r^2=\frac{3}{4}+3$$
$$r^2=\frac{15}{4}$$
$$r=\frac{\sqrt{15}}{2}$$

Теперь мы можем использовать формулу для площади сферы $S=4\pi r^2$, чтобы найти площадь вписанной сферы.

$$S=4\pi (\frac{\sqrt{15}}{2}{)}^2$$
$$S=4\pi \cdot \frac{15}{4}$$
$$S=15\pi$$

Итак, площадь сферы, вписанной в треугольную пирамиду, равна $15\pi$.

5. Чтобы найти скалярное произведение векторов $1/2\cdot (\mathbf{mc}+\mathbf{mv})\cdot \mathbf{o}$, где $\mathbf{o}$ - основание высоты пирамиды, нам нужно знать координаты векторов $\mathbf{mc}$ и $\mathbf{mv}$. Учитывая, что мы здесь решаем задачу на словах, мы не знаем конкретных значений этих векторов. Поэтому мы не можем вычислить скалярное произведение в данном случае.

Это ответы на вашу задачу. Пожалуйста, будьте внимательны и проверьте, что все вычисления выполнены правильно.