Какова площадь боковой поверхности треугольной пирамиды, у которой сторона основания равна 2 корня из 3, а боковые

Чтобы решить эту задачу, давайте разобьем ее на несколько частей и посмотрим, как решить каждую из них.

1. Найдем площадь боковой поверхности треугольной пирамиды. Поскольку у нас есть информация о стороне основания и угле, мы можем использовать формулу \(S = \frac{1}{2} \times a \times p\), где \(a\) - длина основания, а \(p\) - периметр треугольника основания. В данном случае, сторона основания равна \(2\sqrt{3}\), а периметр вычисляется как \(3 \times a\). Подставляя значения, получаем:

\[S = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times 3 \times 2\sqrt{3}\]

Выполняя простые вычисления, получаем площадь боковой поверхности треугольной пирамиды, равную \(18\sqrt{3}\).

2. Чтобы найти объем пирамиды, мы можем использовать формулу \(V = \frac{1}{3} \times S_{\text{осн}} \times h\), где \(S_{\text{осн}}\) - площадь основания, а \(h\) - высота пирамиды. В данной задаче, площадь основания равна \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\) (это площадь равностороннего треугольника, вычисляется по формуле \(\frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2\)), а высоту мы можем найти по теореме Пифагора. Поскольку основание треугольника равностороннее, то высота будет равна \(\sqrt{3}\). Подставляя значения, получаем:

\[V = \frac{1}{3} \times \frac{3\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3}\]

Выполняя вычисления, получаем объем пирамиды, равный \(\sqrt{3}\).

3. Чтобы найти угол между боковым ребром и плоскостью основания, давайте проведем линию от вершины пирамиды до середины основания. Тогда у нас получится прямоугольный треугольник, так как одна сторона - это половина основания, равная \(\sqrt{3}\), а другая сторона - это высота пирамиды, равная \(\sqrt{3}\). Используя теорему Пифагора, мы можем найти гипотенузу этого треугольника. Подставляя значения, получаем:

\[c^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2\]
\[c^2 = 3 + 3\]
\[c^2 = 6\]
\[c = \sqrt{6}\]

Теперь мы можем использовать косинусную теорему, чтобы найти угол \(\theta\) между боковым ребром и плоскостью основания. Косинус угла выражается как \(cos(\theta) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\), где \(a\) и \(b\) - это стороны треугольника. В нашем случае, \(a = b = \sqrt{3}\), \(c = \sqrt{6}\). Подставляя значения, получаем:

\[cos(\theta) = \frac{(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2}{2 \times \sqrt{3} \times \sqrt{3}}\]

Выполняя вычисления, получаем \(cos(\theta) = \frac{3 - 6}{6} = -\frac{1}{2}\). Используя тригонометрическую таблицу, мы можем найти, что \(\theta = 120^\circ\).

4. Чтобы найти площадь сферы, вписанной в пирамиду, нам нужно знать радиус этой сферы. Для этого можно использовать свойство равнобедренной пирамиды: высотка из вершины пирамиды делит основание пирамиды пополам. Значит, у нас образуется прямоугольный треугольник, в котором одна из катетов равна радиусу вписанной сферы. Другой катет - это радиус описанной окружности пирамиды, которая равен половине длины основания: \(\sqrt{3}\). Используя теорему Пифагора, мы можем найти радиус вписанной сферы.

\[r^2 = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\sqrt{3})^2\]
\[r^2 = \frac{3}{4} + 3\]
\[r^2 = \frac{15}{4}\]
\[r = \frac{\sqrt{15}}{2}\]

Теперь мы можем использовать формулу для площади сферы \(S = 4\pi r^2\), чтобы найти площадь вписанной сферы.

\[S = 4\pi (\frac{\sqrt{15}}{2})^2\]
\[S = 4\pi \cdot \frac{15}{4}\]
\[S = 15\pi\]

Итак, площадь сферы, вписанной в треугольную пирамиду, равна \(15\pi\).

5. Чтобы найти скалярное произведение векторов \(1/2 \cdot (\mathbf{mc} + \mathbf{mv}) \cdot \mathbf{o}\), где \(\mathbf{o}\) - основание высоты пирамиды, нам нужно знать координаты векторов \(\mathbf{mc}\) и \(\mathbf{mv}\). Учитывая, что мы здесь решаем задачу на словах, мы не знаем конкретных значений этих векторов. Поэтому мы не можем вычислить скалярное произведение в данном случае.

Это ответы на вашу задачу. Пожалуйста, будьте внимательны и проверьте, что все вычисления выполнены правильно.