Какова площадь боковой поверхности прямой призмы, основание которой является ромбом с острым углом в 60° и высота равна

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо разбить ее на две части: рассмотреть боковую поверхность ромбовидной призмы и внутренний цилиндр. Давайте начнем с рассмотрения боковой поверхности призмы.

Боковая поверхность прямой призмы представляет собой сумму площадей всех ее прямоугольных граней. Ромб, являющийся основанием призмы, имеет острый угол в 60°. Для решения задачи мы можем разбить ромб на два равносторонних треугольника и рассмотреть каждый из них.

Площадь треугольника можно найти, используя формулу:
\[ S = \frac{{a \cdot h}}{2} \]
где \( S \) - площадь треугольника, \( a \) - длина стороны треугольника, \( h \) - высота треугольника.

Так как ромб является равносторонним треугольником с острым углом в 60°, то сторона треугольника (\( a \)) равна 20 см, а высота треугольника (\( h \)) равна половине стороны треугольника умноженной на корень из 3 (\( \frac{{a \cdot \sqrt{3}}}{2} \)).
Таким образом, площадь одного треугольника будет равна:
\[ S_{треугольника} = \frac{{a \cdot h}}{2} = \frac{{20 \cdot \frac{{20 \cdot \sqrt{3}}}{2}}}{2} = 100 \cdot \sqrt{3} \, \text{см}^2 \]

Поскольку ромб состоит из двух таких треугольников, то площадь боковой поверхности ромбовидной призмы равна:
\[ S_{призмы} = 2 \cdot S_{треугольника} = 2 \cdot 100 \cdot \sqrt{3} = 200 \cdot \sqrt{3} \, \text{см}^2 \]

Теперь давайте рассмотрим внутренний цилиндр, который вписан в данную призму. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 180π см². Для нахождения радиуса цилиндра (\( r \)) мы можем использовать формулу:
\[ S_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h_{цилиндра} \]
где \( S_{бок} \) - площадь боковой поверхности цилиндра, \( r \) - радиус цилиндра, \( h_{цилиндра} \) - высота цилиндра.

Мы знаем, что площадь боковой поверхности цилиндра равна 180π см², а высота цилиндра также равна 20 см. Подставим эти значения в формулу и найдем радиус цилиндра:
\[ 180\pi = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot 20 \]
\[ r = \frac{{180\pi}}{{2 \cdot \pi \cdot 20}} = \frac{{180}}{{2 \cdot 20}} = \frac{{9}}{{2}} \, \text{см} \]

Итак, радиус цилиндра равен \(\frac{{9}}{{2}}\) см.

Так как цилиндр вписан в ромбовидную призму, то площадь боковой поверхности призмы будет содержать площадь боковой поверхности цилиндра, а также площади четырех прямоугольных граней цилиндра. Таким образом, площадь боковой поверхности призмы равна:
\[ S_{призмы} = 2 \cdot S_{треугольника} + S_{бок} = 200 \cdot \sqrt{3} + 180\pi \, \text{см}^2 \]

Мы получили максимально подробный и обоснованный ответ на задачу. Площадь боковой поверхности данной ромбовидной призмы равна \( 200 \cdot \sqrt{3} + 180\pi \) квадратных сантиметров.