Какова площадь боковой поверхности прямоугольной призмы, если ее объем равен 48√3 см³ и основание является

Конечно! Давайте разберемся с этой задачей подробно.

Сначала нам нужно найти размеры основания прямоугольной призмы. Зная гипотенузу и угол треугольника, мы можем найти значения его сторон. В данном случае у нас есть гипотенуза равная 8 см и угол 30 градусов.

Зная значение гипотенузы и угла, мы можем найти длину одной из сторон основания. Для этого мы можем воспользоваться тригонометрическим соотношением:

\[\sin(30^\circ) = \frac{{\text{{противоположная сторона}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\]

Находим противоположную сторону:

\[\frac{1}{2} = \frac{{\text{{противоположная сторона}}}}{8}\]

\[\text{{противоположная сторона}} = \frac{1}{2} \times 8 = 4 \text{{ см}}\]

Таким образом, мы нашли размер одной из сторон основания - 4 см.

Теперь, чтобы найти другую сторону основания, нам нужно использовать симметрию прямоугольного треугольника. Поскольку треугольник прямоугольный, его катеты должны быть равными. Таким образом, вторая сторона основания также равна 4 см.

Теперь, когда у нас есть размеры основания, мы можем перейти к нахождению площади боковой поверхности.

Площадь боковой поверхности прямоугольной призмы вычисляется по формуле:

\[S_{\text{{бок}}} = 2(аb + bh + ah)\]

где a, b и h - стороны основания и высота призмы соответственно.

Мы уже знаем, что a = 4 см и b = 4 см. Остается найти высоту призмы.

Объем призмы (V) можно вычислить по формуле:

\[V = abh\]

В нашем случае, V = 48√3 см³. Подставим известные значения:

\[48√3 = 4 \times 4 \times h\]

\[48√3 = 16h\]

Теперь найдем высоту призмы:

\[h = \frac{{48√3}}{{16}} = 3√3 \text{{ см}}\]

Теперь у нас есть все данные для вычисления площади боковой поверхности:

\[S_{\text{{бок}}} = 2(4 \times 4 + 4 \times 3√3 + 4 \times 3√3)\]

\[S_{\text{{бок}}} = 2(16 + 12√3 + 12√3)\]

\[S_{\text{{бок}}} = 2(16 + 24√3)\]

\[S_{\text{{бок}}} = 32 + 48√3\]

Таким образом, площадь боковой поверхности прямоугольной призмы равна \(32 + 48√3\) квадратных сантиметров.