Какова площадь боковой поверхности прямоугольной пирамиды, у которой боковые стороны образуют угол 60° с плоскостью

Для решения этой задачи нам понадобится использовать геометрические свойства прямоугольных пирамид и тригонометрию. Давайте рассмотрим пошаговое решение.

Шаг 1: Нарисуем схему прямоугольной пирамиды с указанными данными. Пометим стороны пирамиды следующим образом:

\[
\begin{array}{ccc}
& C & \\
& \uparrow & \\
& \text{---} & \\
A & \longrightarrow & B \\
& \text{---} & \\
& D & \\
\end{array}
\]

Где A - вершина пирамиды, BC - основание пирамиды, AD - боковая сторона пирамиды. Мы также знаем, что угол, образованный боковой стороной пирамиды и плоскостью основания, равен 60°.

Шаг 2: Поскольку AD является высотой пирамиды, это расстояние от вершины (A) до основания (BC). Мы знаем, что расстояние от центра основания (O) до AD также равно AD. Давайте обозначим это расстояние как h.

\[
\begin{array}{ccc}
& C & \\
& \uparrow & \\
O & \text{---} & O \\
A & \longleftrightarrow & B \\
& --- & \\
& D & \\
\end{array}
\]

Шаг 3: Разделим пирамиду на два треугольника - прямоугольный треугольник AOD и треугольник ABC, который является прямоугольным треугольником BCD, повернутым таким образом, чтобы BC стала основанием.

\[
\begin{array}{ccc}
& C & \\
& \uparrow & \\
O & \text{---} & O \\
A & \longleftrightarrow & B \\
& --- & \\
& D & \\
\end{array}
\]

Шаг 4: Мы знаем, что угол между боковой стороной пирамиды (AD) и плоскостью основания (BC) равен 60°. Таким образом, внутренний угол треугольника AOD (угол OAD) также равен 60°.

\[
\begin{array}{ccc}
& C & \\
& \uparrow & \\
O & \text{---} & O \\
A & \longleftrightarrow & B \\
& \uparrow & \\
& D & \\
& \uparrow & \\
& O & \\
\end{array}
\]

Шаг 5: В треугольнике AOD у нас есть два известных значения: гипотенуза AO и угол OAD. Мы можем использовать тригонометрическую функцию синус, чтобы найти сторону AD.

\[
\sin(60°) = \frac{AD}{AO}
\]

Шаг 6: Мы знаем, что гипотенуза AO равна расстоянию от центра основания до AD, то есть h. Таким образом, мы можем переписать уравнение:

\[
\sin(60°) = \frac{AD}{h}
\]

Шаг 7: Решим это уравнение относительно AD.

\[
AD = h \cdot \sin(60°)
\]

Шаг 8: Мы знаем, что площадь боковой поверхности пирамиды вычисляется по формуле:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot \text{{периметр основания}} \cdot \text{{высота боковой стороны}}
\]

Шаг 9: Поскольку основание нашей пирамиды - прямоугольник BCD, периметр основания можно найти как сумму всех его сторон:

\[
\text{{периметр основания}} = BC + CD + BD
\]

Шаг 10: Заметим, что сторона BC основания равна длине AD, которую мы уже нашли:

\[
BC = AD = h \cdot \sin(60°)
\]

Шаг 11: Обозначим длины сторон прямоугольника BCD как a, b и c соответственно:

\[
BC = a, \quad CD = b, \quad BD = c
\]

Шаг 12: Так как угол между боковой стороной пирамиды и плоскостью основания равен 60°, стороны прямоугольника BCD равны друг другу, то есть a = b.

Шаг 13: Таким образом, периметр основания может быть записан как:

\[
\text{{периметр основания}} = BC + CD + BD = a + a + c = 2a + c
\]

Шаг 14: Теперь мы можем выразить площадь боковой поверхности пирамиды, используя найденное значение AD и периметр основания:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot (\text{{периметр основания}}) \cdot AD
\]

\[
S = \frac{1}{2} \cdot (2a + c) \cdot (h \cdot \sin(60°))
\]

Шаг 15: Мы можем дальше упростить это выражение, подставив значение AD:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot (2a + c) \cdot (h \cdot \sin(60°)) = (a + \frac{c}{2}) \cdot (h \cdot \sin(60°))
\]

Шаг 16: Заметим, что \(h \cdot \sin(60°)\) - это высота боковой стороны пирамиды (AD). Таким образом, мы можем записать окончательную формулу для площади боковой поверхности пирамиды:

\[
S = (a + \frac{c}{2}) \cdot \text{{высота боковой стороны}}
\]

Надеюсь, что эта развернутая информация и предоставленное решение помогли вам понять, как найти площадь боковой поверхности прямоугольной пирамиды с указанными данными. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задать их!