Какова площадь боковой поверхности правильной пирамиды DABC, где DO перпендикулярна плоскости ABC, DO равно корень

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды DABC, нам нужно вычислить площадь треугольника DAB и умножить ее на количество боковых граней у пирамиды.

Шаг 1: Найдите длину отрезка AB. Поскольку пирамида DABC является правильной, все ее боковые грани будут равнобедренными треугольниками. То есть, стороны треугольника DAB будут иметь одинаковую длину. Обозначим эту длину как x.

Шаг 2: Рассмотрим треугольник DMO. Из условия мы знаем, что DM перпендикулярна BC и угол ODM равен 60 градусам. Так как треугольник DMO - прямоугольный, мы можем использовать тригонометрические соотношения для вычисления длины отрезка MO и длины отрезка MD.

Мы знаем, что DM равно корню из 3, а угол ODM равен 60 градусам. Таким образом, мы можем использовать тригонометрическое соотношение тангенса для вычисления длины отрезка MO:

\[\tan(60^\circ) = \frac{{MO}}{{DM}}\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[\tan(60^\circ) = \frac{{MO}}{{\sqrt{3}}}\]

Так как тангенс 60 градусов равен \(\sqrt{3}\), мы можем упростить это уравнение:

\[\sqrt{3} = \frac{{MO}}{{\sqrt{3}}}\]

Умножая обе части уравнения на \(\sqrt{3}\), получаем:

\[3 = MO\]

Таким образом, мы находим, что MO равно 3.

Шаг 3: Рассмотрим треугольник ABD. Мы знаем, что MD равно корню из 3, а MO равно 3. Мы также знаем, что угол DMO равен 90 градусам. Используя теорему Пифагора, мы можем вычислить длину отрезка AB:

\[AB = \sqrt{AD^2 - BD^2}\]

Заметим, что треугольник ABD - прямоугольный, поэтому мы можем использовать эту формулу. Мы знаем, что MD равно корню из 3, поэтому AD равно 3 (так как MD является высотой, опущенной на гипотенузу треугольника ABD). Мы также знаем, что BD равно половине длины отрезка AB, поскольку BD - это медиана, проведенная из вершины треугольника ABD к стороне AB.

Таким образом, мы можем записать уравнение:

\[AB = \sqrt{3^2 - \left(\frac{AB}{2}\right)^2}\]

Возводя в квадрат оба члена уравнения, получаем:

\[AB^2 = 9 - \frac{AB^2}{4}\]

Переставляя слагаемые, получаем:

\[\frac{AB^2}{4} + AB^2 = 9\]

Общий знаменатель, получаем:

\[\frac{5AB^2}{4} = 9\]

Умножая обе части на 4/5, получаем:

\[AB^2 = \frac{36}{5}\]

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

\[AB = \sqrt{\frac{36}{5}}\]

Мы можем упростить это выражение:

\[AB = \frac{6}{\sqrt{5}}\]

Поскольку мы определили ранее, что AB равно x, мы можем записать:

\[x = \frac{6}{\sqrt{5}}\]

Используя свойство равнобедренного треугольника, мы знаем, что площадь треугольника DAB равна:

\[S_{DAB} = \frac{1}{2}AB \times DM\]

Подставляя известные значения:

\[S_{DAB} = \frac{1}{2} \times \frac{6}{\sqrt{5}} \times \sqrt{3}\]

Упрощая выражение, получаем:

\[S_{DAB} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\]

Шаг 4: Наконец, чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, умножьте площадь треугольника DAB на количество боковых граней пирамиды. Поскольку пирамида DABC правильная, у нее 4 боковых грани. Поэтому общая площадь боковой поверхности равна:

\[S_{\text{пир}} = 4 \times S_{DAB}\]

Подставляя значение площади треугольника DAB, получаем:

\[S_{\text{пир}} = 4 \times \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\]

Упрощая выражение, получаем окончательный ответ:

\[S_{\text{пир}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\]

Таким образом, площадь боковой поверхности правильной пирамиды DABC равна \(\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\).