Какова площадь боковой поверхности конуса, если его образующая составляет 40 см и наклонена к плоскости основания

Хорошо, для решения этой задачи вам потребуется знание формулы для площади боковой поверхности конуса. Формула имеет вид:

\[S = \pi r l,\]

где \(S\) - площадь боковой поверхности конуса, \(\pi\) - математическая константа, примерное значение которой равно 3.14, \(r\) - радиус основания конуса, а \(l\) - образующая конуса.

Нам дано значение образующей - 40 см. Обратите внимание, что образующая - это гипотенуза прямоугольного треугольника, образованного основанием конуса и отрезком, соединяющим вершину конуса с точкой на основании, ближайшей к вершине конуса. Также нам дано значение угла наклона образующей к плоскости основания - 60 градусов.

Чтобы найти радиус основания и образующую этого конуса, мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника. Обозначим радиус как \(r\) и радиус вектора \(l\) соответственно.

По определению, косинус угла наклона образующей к плоскости основания равен отношению прилежащего катета (радиуса) к гипотенузе (образующей). То есть:

\[\cos 60^{\circ} = \frac{r}{40}.\]

Так как \(\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}\), мы можем записать:

\[\frac{1}{2} = \frac{r}{40}.\]

Чтобы найти радиус, умножим обе части уравнения на 40:

\[40 \cdot \frac{1}{2} = r.\]

Сокращаем:

\[20 = r.\]

Теперь, когда у нас есть значени радиуса основания, мы можем найти площадь боковой поверхности. Подставим значения радиуса и длины в формулу для площади боковой поверхности:

\[S = \pi \cdot 20 \cdot 40.\]

Очевидно, что мы можем сократить на 10:

\[S = \pi \cdot 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 40.\]

Умножаем:

\[S = \pi \cdot 4 \cdot 80.\]

И ещё раз:

\[S = \pi \cdot 320.\]

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса составляет \(320\pi\) квадратных сантиметров.