Какова площадь боковой поверхности и объем данной правильной четырехугольной призмы, если боковое ребро равно 6

Давайте рассмотрим данную правильную четырехугольную призму.

У нас есть два параметра: длина бокового ребра и длина диагонали боковой грани.

Для начала найдем площадь боковой поверхности призмы. Площадь боковых поверхностей призмы - это сумма площадей ее боковых граней. Призма состоит из четырех боковых граней, причем каждая грань является равнобедренным треугольником.

Чтобы вычислить площадь одной боковой грани, нам понадобится знание диагонали и бокового ребра.

Для этого воспользуемся формулой площади треугольника. Пусть $b$ будет длина основания треугольника (то есть боковое ребро), а $h$ - высота треугольника (то есть длина перпендикуляра, опущенного из вершины основания на основание).

Площадь треугольника можно вычислить по формуле: $\text{Площадь}=\frac{1}{2}\times b\times h$.

У нас дано, что длина бокового ребра равна 6 см. Нам также нужно найти высоту треугольника.

Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном диагональю боковой грани, основанием треугольника (боковым ребром) и высотой, опущенной на основание треугольника.

По теореме Пифагора: $d^2=b^2+h^2$, где $d$ - длина диагонали боковой грани, а $b$ - длина основания треугольника (бокового ребра).

Мы знаем, что $d=8$ см (для примера). Подставим эти значения в уравнение: $(8{)}^2=(6{)}^2+h^2$.

Выполнив вычисления, получим: $64=36+h^2$. Вычтем 36 из обеих сторон уравнения: $h^2=28$. Затем возьмем квадратный корень от обеих сторон: $h=\sqrt{28}$ см.

Теперь, когда у нас есть значение высоты треугольника, мы можем найти его площадь, подставив значения в формулу: $\text{Площадь}=\frac{1}{2}\times b\times h$.

$\text{Площадь}=\frac{1}{2}\times 6\times \sqrt{28}=3\times \sqrt{28}$ квадратных сантиметров.

Теперь перейдем к нахождению объема призмы. Объем призмы можно вычислить, умножив площадь основания на высоту призмы.

Мы уже знаем площадь основания - это площадь равнобедренного треугольника с основанием 6 см и высотой $h$. Мы также нашли значение $h$ равное $\sqrt{28}$ см.

Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника, вычислим длину его одного из боковых ребер, используя теорему Пифагора. По теореме Пифагора: $a^2=b^2+c^2$, где $a$ - длина бокового ребра, $b$ - длина основания треугольника и $c$ - длина половины основания треугольника.

Мы знаем, что $a=6$ см (длина бокового ребра) и $b=6$ см (половина основания треугольника). Подставим эти значения в уравнение: $a^2=(6{)}^2+(6{)}^2$.

Выполнив вычисления, получим: $a^2=36+36$. Суммируем значения: $a^2=72$. Затем возьмем квадратный корень от обеих сторон: $a=\sqrt{72}$ см.

Теперь, когда у нас есть значение длины бокового ребра, мы можем найти площадь равнобедренного треугольника, подставив значения в формулу: $\text{Площадь}=\frac{1}{2}\times b\times a$.

$\text{Площадь}=\frac{1}{2}\times 6\times \sqrt{72}=3\times \sqrt{72}$ квадратных сантиметров.

Теперь у нас есть площадь основания и высота призмы. Мы можем найти объем призмы, умножив площадь основания на высоту.

Объем призмы: $\text{Объем}=\text{Площадь основания}\times \text{Высота}$.

Подставим величины в формулу: $\text{Объем}=(3\times \sqrt{72})\times \sqrt{28}=3\sqrt{2016}$ кубических сантиметров.

Таким образом, площадь боковой поверхности этой призмы составляет $3\times \sqrt{28}$ квадратных сантиметров, а объем - $3\sqrt{2016}$ кубических сантиметров.