Какова площадь боковой поверхности и объем данной правильной четырехугольной призмы, если боковое ребро равно 6

Давайте рассмотрим данную правильную четырехугольную призму.

У нас есть два параметра: длина бокового ребра и длина диагонали боковой грани.

Для начала найдем площадь боковой поверхности призмы. Площадь боковых поверхностей призмы - это сумма площадей ее боковых граней. Призма состоит из четырех боковых граней, причем каждая грань является равнобедренным треугольником.

Чтобы вычислить площадь одной боковой грани, нам понадобится знание диагонали и бокового ребра.

Для этого воспользуемся формулой площади треугольника. Пусть \(b\) будет длина основания треугольника (то есть боковое ребро), а \(h\) - высота треугольника (то есть длина перпендикуляра, опущенного из вершины основания на основание).

Площадь треугольника можно вычислить по формуле: \(\text{Площадь} = \frac{1}{2} \times b \times h\).

У нас дано, что длина бокового ребра равна 6 см. Нам также нужно найти высоту треугольника.

Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном диагональю боковой грани, основанием треугольника (боковым ребром) и высотой, опущенной на основание треугольника.

По теореме Пифагора: \(d^2 = b^2 + h^2\), где \(d\) - длина диагонали боковой грани, а \(b\) - длина основания треугольника (бокового ребра).

Мы знаем, что \(d = 8\) см (для примера). Подставим эти значения в уравнение: \((8)^2 = (6)^2 + h^2\).

Выполнив вычисления, получим: \(64 = 36 + h^2\). Вычтем 36 из обеих сторон уравнения: \(h^2 = 28\). Затем возьмем квадратный корень от обеих сторон: \(h = \sqrt{28}\) см.

Теперь, когда у нас есть значение высоты треугольника, мы можем найти его площадь, подставив значения в формулу: \(\text{Площадь} = \frac{1}{2} \times b \times h\).

\(\text{Площадь} = \frac{1}{2} \times 6 \times \sqrt{28} = 3 \times \sqrt{28}\) квадратных сантиметров.

Теперь перейдем к нахождению объема призмы. Объем призмы можно вычислить, умножив площадь основания на высоту призмы.

Мы уже знаем площадь основания - это площадь равнобедренного треугольника с основанием 6 см и высотой \(h\). Мы также нашли значение \(h\) равное \(\sqrt{28}\) см.

Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника, вычислим длину его одного из боковых ребер, используя теорему Пифагора. По теореме Пифагора: \(a^2 = b^2 + c^2\), где \(a\) - длина бокового ребра, \(b\) - длина основания треугольника и \(c\) - длина половины основания треугольника.

Мы знаем, что \(a = 6\) см (длина бокового ребра) и \(b = 6\) см (половина основания треугольника). Подставим эти значения в уравнение: \(a^2 = (6)^2 + (6)^2\).

Выполнив вычисления, получим: \(a^2 = 36 + 36\). Суммируем значения: \(a^2 = 72\). Затем возьмем квадратный корень от обеих сторон: \(a = \sqrt{72}\) см.

Теперь, когда у нас есть значение длины бокового ребра, мы можем найти площадь равнобедренного треугольника, подставив значения в формулу: \(\text{Площадь} = \frac{1}{2} \times b \times a\).

\(\text{Площадь} = \frac{1}{2} \times 6 \times \sqrt{72} = 3 \times \sqrt{72}\) квадратных сантиметров.

Теперь у нас есть площадь основания и высота призмы. Мы можем найти объем призмы, умножив площадь основания на высоту.

Объем призмы: \(\text{Объем} = \text{Площадь основания} \times \text{Высота}\).

Подставим величины в формулу: \(\text{Объем} = (3 \times \sqrt{72}) \times \sqrt{28} = 3\sqrt{2016}\) кубических сантиметров.

Таким образом, площадь боковой поверхности этой призмы составляет \(3 \times \sqrt{28}\) квадратных сантиметров, а объем - \(3\sqrt{2016}\) кубических сантиметров.