Какова площадь боковой поверхности цилиндра, если отрезок, соединяющий точку на нижней окружности с центром верхней

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется знать формулу для площади боковой поверхности цилиндра и использовать геометрические свойства. Давайте начнем пошаговое решение.

Шаг 1: Изобразим цилиндр согласно условию задачи. Представьте себе вертикальный цилиндр с нижней окружностью и верхней окружностью, связанными отрезком. Угол между этим отрезком и диаметром нижней окружности составляет 60°.

Шаг 2: Обозначим длину отрезка, соединяющего точку на нижней окружности с центром верхней окружности, как $l$, и обозначим радиус нижней окружности как $r$.

Шаг 3: Используя геометрические свойства, мы знаем, что отрезок, соединяющий точку на нижней окружности с центром верхней окружности, параллелен боковой поверхности цилиндра. Таким образом, этот отрезок представляет собой образующую боковой поверхности цилиндра.

Шаг 4: Обратимся к формуле для площади боковой поверхности цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины образующей на окружность, через которую проходит эта образующая.

Шаг 5: Окружность, через которую проходит данная образующая, это нижняя окружность цилиндра. Следовательно, окружность имеет диаметр $2r$, а его длина (периметр) равна $2\pi r$.

Шаг 6: Теперь мы можем записать формулу для площади боковой поверхности цилиндра. Пусть $S$ обозначает площадь боковой поверхности цилиндра. Тогда:

$$S=l\times 2\pi r$$

Шаг 7: В задаче говорится, что длина отрезка, соединяющего точку на нижней окружности с центром верхней окружности, равна 20 см. То есть $l=20$ см.

Шаг 8: В задаче также указано, что угол между отрезком и диаметром нижней окружности составляет 60°. Используя геометрическую связь между углами в цилиндре, мы знаем, что угол между образующей и плоскостью основания (между отрезком и диаметром) равен 90°. Таким образом, мы можем найти косинус этого угла и использовать его для нахождения радиуса нижней окружности.

Шаг 9: Для нахождения косинуса угла воспользуемся формулой косинусов. Обозначим $\theta$ угол между отрезком и диаметром нижней окружности. Тогда:

$$\cos (\theta )=\frac{l}{2r}$$

Шаг 10: В данной задаче значение угла равно 60°. Заменим $\theta$ на 60° в формуле выше:

$$\cos (60°)=\frac{20}{2r}$$

Шаг 11: Мы знаем, что $\cos (60°)=\frac{1}{2}$. Заменим это значение:

$$\frac{1}{2}=\frac{20}{2r}$$

Шаг 12: Теперь можно найти радиус нижней окружности цилиндра. Решим уравнение относительно $r$:

$$\frac{1}{2}\times 2r=20$$

$$\frac{2r}{2}=20$$

$$r=10$$

Шаг 13: Теперь, когда у нас есть значение $l$ (20 см) и $r$ (10 см), мы можем подставить эти значения в формулу для площади боковой поверхности цилиндра:

$$S=20\times 2\pi \times 10$$

Шаг 14: Вычислим это значение:

$$S=20\times 20\pi$$

$$S=400\pi$$

Ответ: Площадь боковой поверхности цилиндра составляет $400\pi$ квадратных сантиметров.