Какова площадь боковой поверхности цилиндра, если отрезок, соединяющий точку на нижней окружности с центром верхней

Чтобы решить эту задачу, нам потребуется знать формулу для площади боковой поверхности цилиндра и использовать геометрические свойства. Давайте начнем пошаговое решение.

Шаг 1: Изобразим цилиндр согласно условию задачи. Представьте себе вертикальный цилиндр с нижней окружностью и верхней окружностью, связанными отрезком. Угол между этим отрезком и диаметром нижней окружности составляет 60°.

Шаг 2: Обозначим длину отрезка, соединяющего точку на нижней окружности с центром верхней окружности, как \(l\), и обозначим радиус нижней окружности как \(r\).

Шаг 3: Используя геометрические свойства, мы знаем, что отрезок, соединяющий точку на нижней окружности с центром верхней окружности, параллелен боковой поверхности цилиндра. Таким образом, этот отрезок представляет собой образующую боковой поверхности цилиндра.

Шаг 4: Обратимся к формуле для площади боковой поверхности цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины образующей на окружность, через которую проходит эта образующая.

Шаг 5: Окружность, через которую проходит данная образующая, это нижняя окружность цилиндра. Следовательно, окружность имеет диаметр \(2r\), а его длина (периметр) равна \(2\pi r\).

Шаг 6: Теперь мы можем записать формулу для площади боковой поверхности цилиндра. Пусть \(S\) обозначает площадь боковой поверхности цилиндра. Тогда:

\[S = l \times 2\pi r\]

Шаг 7: В задаче говорится, что длина отрезка, соединяющего точку на нижней окружности с центром верхней окружности, равна 20 см. То есть \(l = 20\) см.

Шаг 8: В задаче также указано, что угол между отрезком и диаметром нижней окружности составляет 60°. Используя геометрическую связь между углами в цилиндре, мы знаем, что угол между образующей и плоскостью основания (между отрезком и диаметром) равен 90°. Таким образом, мы можем найти косинус этого угла и использовать его для нахождения радиуса нижней окружности.

Шаг 9: Для нахождения косинуса угла воспользуемся формулой косинусов. Обозначим \(\theta\) угол между отрезком и диаметром нижней окружности. Тогда:

\[\cos(\theta) = \frac{l}{2r}\]

Шаг 10: В данной задаче значение угла равно 60°. Заменим \(\theta\) на 60° в формуле выше:

\[\cos(60°) = \frac{20}{2r}\]

Шаг 11: Мы знаем, что \(\cos(60°) = \frac{1}{2}\). Заменим это значение:

\[\frac{1}{2} = \frac{20}{2r}\]

Шаг 12: Теперь можно найти радиус нижней окружности цилиндра. Решим уравнение относительно \(r\):

\[\frac{1}{2} \times 2r = 20\]

\[\frac{2r}{2} = 20\]

\[r = 10\]

Шаг 13: Теперь, когда у нас есть значение \(l\) (20 см) и \(r\) (10 см), мы можем подставить эти значения в формулу для площади боковой поверхности цилиндра:

\[S = 20 \times 2\pi \times 10\]

Шаг 14: Вычислим это значение:

\[S = 20 \times 20\pi\]

\[S = 400\pi\]

Ответ: Площадь боковой поверхности цилиндра составляет \(400\pi\) квадратных сантиметров.