Какова относительная погрешность в определении момента инерции для шара, закрепленного на тонком стержне длиной

Для начала нам понадобится формула для определения момента инерции \(I\) для шара, который вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Для такого шара момент инерции вычисляется по формуле:

\[I = \frac{2}{5} m r^2\]

где \(m\) - масса шара, \(r\) - радиус шара.

В данной задаче шар закреплен на тонком стержне длиной \(a\). Дано, что расстояние между центром шара и осью вращения, перпендикулярной длине стержня, равно \(a\). Зная, что длина стержня \(a\) равна 10\(r\), мы можем найти расстояние между центром шара и осью вращения \(h\) по теореме Пифагора:

\[h = \sqrt{a^2 - r^2}\]

Из условия задачи также следует, что масса шара в 10 раз больше массы стержня: \(m = 10m_s\), где \(m_s\) - масса стержня.

Теперь мы можем выразить относительную погрешность \(\delta\) в определении момента инерции для данной системы. Относительная погрешность определяется как отношение абсолютной погрешности к значению \(I\):

\[\delta = \frac{\Delta I}{I}\]

Где абсолютная погрешность \(\Delta I\) - это разница между действительным значением момента инерции и его погрешным значением, полученным при использовании приближенной формулы. В данном случае, мы будем использовать формулу для момента инерции шара без стержня.

Подставляя известные значения, получаем:

\[\delta = \frac{\Delta I}{I} = \frac{\frac{2}{5} m r^2 - \frac{2}{5} 10m_s r^2}{\frac{2}{5} m r^2} = \frac{10m_s r^2}{10m r^2} = \frac{m_s}{m}\]

Полученная относительная погрешность равна \(\frac{m_s}{m}\), то есть отношению масс стержня к массе шара.

В итоге, относительная погрешность в определении момента инерции для шара, закрепленного на тонком стержне длиной \(a\) и радиусом \(r\), так что расстояние между центром шара и осью вращения, перпендикулярной длине стержня, равно \(a\), равна \(\frac{m_s}{m}\), где \(m_s\) - масса стержня, а \(m\) - масса шара.