Какова общая длина всех ребер правильного тетраэдра?

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Определение правильного тетраэдра.
Правильный тетраэдр - это геометрическое тело, которое имеет четыре равных треугольника в качестве граней. Все его ребра имеют одинаковую длину, и все его углы равны.

Шаг 2: Определение длины ребра.
Поскольку речь идет о правильном тетраэдре, то длина каждого ребра будет одинаковой. Обозначим длину ребра как \(a\).

Шаг 3: Выразим длину ребра через высоту.
Мы можем найти связь между длиной ребра и высотой правильного тетраэдра. Зная, что каждый биссектриссованный треугольник тетраэдра является равнобедренным, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы выразить длину ребра через высоту.

Рассмотрим одну биссектриссу треугольника, у которой длина ребра равна \(a\). Пусть высота, опущенная из вершины этого треугольника к основанию равнобедренной стороны, будет обозначена как \(h\).

В результате применения теоремы Пифагора к этому равнобедренному треугольнику, мы можем записать:

\[\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2\]

Раскрывая скобки, получим:

\[\frac{a^2}{4} + h^2 = a^2\]

Переносим все на одну сторону и упрощаем:

\[h^2 = \frac{3a^2}{4}\]

Шаг 4: Нахождение длины высоты.
Для нахождения длины высоты нам необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}}\]

Шаг 5: Нахождение длины всех ребер.
В правильном тетраэдре имеется 6 ребер. Так как все ребра имеют одинаковую длину, общая длина всех ребер будет:

\[6a\]

Теперь мы можем выразить общую длину всех ребер через длину ребра \(a\) и длину \(h\) высоты:

\[6a = 6 \cdot \left(\sqrt{\frac{3a^2}{4}}\right)\]

Шаг 6: Упрощение и ответ.
Мы можем упростить данное выражение:

\[6a = \sqrt{9a^2}\]
\[6a = 3a\]

Таким образом, общая длина всех ребер правильного тетраэдра равна \(3a\).

Итак, ответ на задачу: общая длина всех ребер правильного тетраэдра равна тройной длине ребра \(a\).