Какова область определения функции f(x) = xn, где n∈Z? Какова область значений для данной функции?

Область определения функции \(f(x) = x^n\) зависит от значения показателя степени \(n\). Для того чтобы определить область определения, необходимо знать, для каких значений аргумента \(x\) функция имеет смысл.

Когда \(n\) - четное число, например, \(n = 2\), \(n = 4\) и т.д., функция будет определена для любого значения аргумента \(x\), так как возведение в четную степень не имеет ограничений. Таким образом, область определения будет состоять из всех действительных чисел, т.е. \(\mathbb{R}\).

Однако, когда \(n\) - нечетное число, например, \(n = 1\), \(n = -3\) и т.д., функция будет определена для всех действительных чисел. В этом случае область определения также будет состоять из всех действительных чисел, т.е. \(\mathbb{R}\).

Теперь перейдем к области значений функции \(f(x)\). Область значений определяет, какие значения могут быть получены при вычислении функции.

Когда \(n\) - четное число, областью значений будет множество неотрицательных действительных чисел, так как возведение в четную степень всегда дает положительный результат или ноль. Следовательно, область значений будет состоять из всех неотрицательных чисел, включая ноль: \([0, +\infty)\).

Если \(n\) - нечетное число, областью значений будет множество всех действительных чисел, так как возведение в нечетную степень сохраняет знак аргумента. Следовательно, область значений будет состоять из всех действительных чисел: \(\mathbb{R}\).

Для лучшего понимания, рассмотрим некоторые примеры:

- Когда \(n = 2\) и \(x = -3\), функция \(f(x) = x^2\) даст положительный результат, так как \((-3)^2 = 9\) - положительное число.
- Когда \(n = 3\) и \(x = -2\), функция \(f(x) = x^3\) даст отрицательный результат, так как \((-2)^3 = -8\) - отрицательное число.

Таким образом, область определения для всех значений \(n\) будет \(\mathbb{R}\), а область значений будет \([0, +\infty)\) при четном \(n\) и \(\mathbb{R}\) при нечетном \(n\).