Какова неопределенность координаты электрона, учитывая, что он ускоряется в электронно-лучевой трубке с разностью

Для решения этой задачи нам понадобится применить принцип неопределенности Гейзенберга. Этот принцип утверждает, что неопределенности координаты (Δx) и импульса (Δp) частицы связаны соотношением:

\[\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}\]

Где h\(\) - постоянная Планка (h\(\) ≈ 6.62607004 × 10^(-34) Дж * с), a \(\hbar\) - уменьшенная постоянная Планка (\(\hbar\) = h / 2π).

Нам дана неопределенность скорости электрона, которая составляет 0,1% от ее числового значения. Мы можем использовать это значение, чтобы выразить неопределенность импульса через скорость электрона.

Пусть \(v\) - скорость электрона, и \(\Delta v\) - неопределенность скорости.

\[\Delta v = 0,1\% \cdot v = 0,001 \cdot v\]

Используя определение импульса \(p = m \cdot v\), где \(m\) - масса электрона, функцию \(f\) от \(x\) и число \(c\), и \(c\) - скорость света, можно выразить неопределенность импульса:

\[\Delta p = m \cdot \Delta v = m \cdot 0,001 \cdot v = 0,001 \cdot m \cdot v\]

Теперь мы можем использовать принцип неопределенности, чтобы найти неопределенность координаты электрона.

\[\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}\]

\[\Delta x \cdot 0,001 \cdot m \cdot v \geq \frac{\hbar}{2}\]

Теперь мы знаем, что электрон ускоряется в электронно-лучевой трубке с разностью потенциалов \(u = 1\) кВ. Мы можем использовать закон сохранения энергии для связи разности потенциалов и скорости электрона.

\[e \cdot u = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\]

Где \(e\) - заряд электрона.

Мы можем решить это уравнение относительно \(v\):

\[v = \sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot u}{m}}\]

Теперь мы можем подставить это значение в неравенство принципа неопределенности:

\[\Delta x \cdot 0,001 \cdot m \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot u}{m}} \geq \frac{\hbar}{2}\]

Теперь мы можем решить это неравенство относительно \(\Delta x\):

\[\Delta x \geq \frac{\hbar}{2 \cdot 0,001 \cdot m \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot u}{m}}}\]

Используя значения известных констант и чисел:

\[\Delta x \geq \frac{6,62607004 \times 10^{-34}}{2 \cdot 0,001 \cdot 9,10938356 × 10^{-31} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 1,602176634 × 10^{-19} \cdot 1000}{9,10938356 × 10^{-31}}}}\]

\[\Delta x \geq 1,199 \times 10^{-10} м = 0,1199 нм\]

Таким образом, неопределенность координаты электрона составляет 0,1199 нм.