Какова напряженность и потенциал электрического поля, создаваемого зарядом, равномерно распределенным по тонкой нити

Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся следующие формулы:

1. Для расчета напряженности электрического поля \(E\) на расстоянии \(r\) от заряда, равномерно распределенного по дуге окружности, используется следующая формула:
\[E = \frac{{\tau}}{{2\pi\epsilon_0 R}} \cdot \int_{0}^{\pi} \frac{{Rd\theta}}{{\sqrt{R^2 + r^2 - 2Rr\cos\theta}}}\]

2. Для расчета потенциала \(V\) электрического поля на расстоянии \(r\) от этого заряда используется следующая формула:
\[V = \frac{{\tau}}{{4\pi\epsilon_0 R}} \cdot \int_{0}^{\pi} \frac{{Rd\theta}}{{\sqrt{R^2 + r^2 - 2Rr\cos\theta}}}\]

Теперь проведём подробные вычисления:

Для начала, заметим, что в данной задаче линейная плотность заряда на нити равна \(\tau = 10\) нКл.

1. Найдем напряженность электрического поля \(E\) для данного заряда. Интеграл для расчета напряженности электрического поля:

\[E = \frac{{\tau}}{{2\pi\epsilon_0 R}} \cdot \int_{0}^{\pi} \frac{{Rd\theta}}{{\sqrt{R^2 + r^2 - 2Rr\cos\theta}}}\]

В этом интеграле заменим переменную:
\[u = \cos\theta\]
\[du = -\sin\theta d\theta\]
\(\theta = 0 \Rightarrow u = 1\)
\(\theta = \pi \Rightarrow u = -1\)

Интеграл примет вид:
\[E = \frac{{\tau}}{{2\pi\epsilon_0 R}} \cdot \int_{1}^{-1} \frac{{R \cdot -du}}{{\sqrt{R^2 + r^2 - 2Rr \cdot u}}}\]

Также обратим внимание, что в данном случае \(r = R\), так как мы рассматриваем точку на расстоянии \(r\) от заряда, равномерно распределенного по дуге окружности.

Подставим значения в формулу:
\[E = \frac{{10}}{{2\pi\epsilon_0 R}} \cdot \int_{1}^{-1} \frac{{R \cdot - du}}{{\sqrt{R^2 + R^2 - 2R^2 \cdot u}}}\]

\[E = \frac{{10}}{{2\pi\epsilon_0 R}} \cdot \int_{1}^{-1} \frac{{- du}}{{\sqrt{2R^2(1 - u)}}}\]

Определенный интеграл по переменной \(u\) от 1 до -1 равен:
\[E = \frac{{10}}{{2\pi\epsilon_0 R}} \cdot \left[ -2\sqrt{\frac{{1 - u}}{{2}}} \right]_{1}^{-1}\]

Подставим значения:
\[E = \frac{{10}}{{2\pi\epsilon_0 R}} \cdot \left( -2\sqrt{\frac{{1 - (-1)}}{{2}}} + 2\sqrt{\frac{{1 - 1}}{{2}}} \right)\]

\[E = \frac{{10}}{{2\pi\epsilon_0 R}} \cdot \left( -2\sqrt{\frac{{2}}{{2}}} + 2\sqrt{\frac{{0}}{{2}}} \right)\]

\[E = -\frac{{20}}{{2\pi\epsilon_0 R}}\]

Таким образом, напряженность электрического поля \(E\) равна \(-\frac{{20}}{{2\pi\epsilon_0 R}}\).

2. Теперь найдем потенциал \(V\) электрического поля на расстоянии \(r\) от заряда. Интеграл для расчета потенциала:

\[V = \frac{{\tau}}{{4\pi\epsilon_0 R}} \cdot \int_{0}^{\pi} \frac{{Rd\theta}}{{\sqrt{R^2 + r^2 - 2Rr\cos\theta}}}\]

Подставим значения в формулу:
\[V = \frac{{10}}{{4\pi\epsilon_0 R}} \cdot \int_{0}^{\pi} \frac{{Rd\theta}}{{\sqrt{R^2 + R^2 - 2R^2 \cos\theta}}}\]

\[V = \frac{{10}}{{4\pi\epsilon_0 R}} \cdot \int_{0}^{\pi} \frac{{Rd\theta}}{{\sqrt{2R^2(1 - \cos\theta)}}}\]

Также обратим внимание, что в данном случае \(r = R\), так как мы рассматриваем точку на расстоянии \(r\) от заряда, равномерно распределенного по дуге окружности.

Определенный интеграл будет иметь вид:
\[V = \frac{{10}}{{4\pi\epsilon_0 R}} \cdot \left[ 2\sqrt{2R^2(1 - \cos\theta)} \right]_{0}^{\pi}\]

\[V = \frac{{10}}{{4\pi\epsilon_0 R}} \cdot \left(2\sqrt{2R^2(1 - \cos(\pi))} - 2\sqrt{2R^2(1 - \cos(0))}\right)\]

\[V = \frac{{10}}{{4\pi\epsilon_0 R}} \cdot \left(2\sqrt{2R^2(1 + 1)} - 2\sqrt{2R^2(1 - 1)}\right)\]

\[V = \frac{{10}}{{4\pi\epsilon_0 R}} \cdot \left(4\sqrt{2R^2}\right)\]

\[V = 10\sqrt{2}\cdot \frac{{1}}{{2\pi\epsilon_0}}\]

Таким образом, потенциал \(V\) электрического поля равен \(10\sqrt{2}\cdot \frac{{1}}{{2\pi\epsilon_0}}\).

Это подробное решение задачи о напряженности и потенциале электрического поля, создаваемого зарядом, равномерно распределенным по тонкой нити, изогнутой в виде дуги окружности радиусом \(R\) и имеющим линейную плотность заряда \(\tau = 10\) нКл.