Какова наибольшая точка экстремума функции y = 2x4 – 4х2? Какие промежутки возрастания имеет функция y = 2x5?

Для нахождения экстремумов функции y = 2x^4 - 4x^2 мы должны найти значения x, при которых производная этой функции равна нулю или не существует. Затем мы проверим, имеют ли эти значения максимумы или минимумы.

Давайте начнем с производной функции y = 2x^4 - 4x^2. Найдем производную, применяя правило производной степенной функции:

\[ \frac{dy}{dx} = 8x^3 - 8x \]

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

\[ 8x^3 - 8x = 0 \]

Вынесем общий множитель 8:

\[ 8x(x^2 - 1) = 0 \]

Теперь можно разложить полученное уравнение на множители:

\[ 8x(x - 1)(x + 1) = 0 \]

Значит, получаем три значения x: x = 0, x = 1 и x = -1.

Теперь оценим значения функции y при этих значениях x, чтобы определить, являются ли они максимумами или минимумами. Для этого можно построить таблицу значений или посмотреть на график функции.

Когда x = 0, значение функции y = 0, так как все слагаемые в функции содержат множитель x. Следовательно, точка (0,0) является точкой экстремума, но не максимумом или минимумом.

Когда x = 1, значение функции y = -2. В этой точке функция достигает минимума.

Когда x = -1, значение функции y = -2. В этой точке функция достигает максимума.

Таким образом, наибольшая точка экстремума функции y = 2x^4 - 4x^2 - это (-1, -2), а наименьшая точка экстремума - (1, -2).

Теперь рассмотрим функцию y = 2x^5. Чтобы определить промежутки возрастания этой функции, мы должны найти значения x, при которых производная функции положительна.

Найдем производную функции y = 2x^5, применяя правило производной степенной функции:

\[ \frac{dy}{dx} = 10x^4 \]

Теперь оценим знак производной. Если производная положительна, то функция возрастает. Если производная отрицательна, то функция убывает.

Заметим, что производная положительна для любого значения x, отличного от нуля. Это означает, что функция y = 2x^5 возрастает на всей числовой прямой, за исключением x = 0.

Таким образом, функция y = 2x^5 возрастает на всем промежутке (- ∞, 0) объединеном с промежутком (0, + ∞). Можно записать ответ следующим образом: функция y = 2x^5 возрастает на интервале (- ∞, + ∞), за исключением точки x = 0.