Какова минимальная абсцисса точки пересечения прямой y=3x+30 и касательной к графику функции y=x3+5x2−5x−18

Для решения данной задачи мы должны найти точку пересечения прямой \(y=3x+30\) и касательной, параллельной графику функции \(y=x^3+5x^2-5x-18\). Давайте разберемся, как это сделать.

Первым шагом мы можем установить условие, что касательная к графику функции будет параллельна прямой \(y=3x+30\). Так как касательная параллельна прямой, значит, их наклоны будут равны. В данном случае у прямой \(y=3x+30\) наклон равен 3.

Для того чтобы найти точку на графике функции \(y=x^3+5x^2-5x-18\), где наклон равен 3, мы можем найти производную этой функции и приравнять ее к 3. По определению, производная функции показывает ее наклон на каждой точке.

Итак, для начала найдем производную функции \(y=x^3+5x^2-5x-18\). Производная функции \(y=f(x)\) обозначается как \(f"(x)\). Применим правило дифференцирования для каждого члена функции:

\[ \begin{align*}
f(x) &= x^3 + 5x^2 - 5x - 18 \\
f"(x) &= 3x^2 + 10x - 5
\end{align*} \]

Теперь мы можем приравнять производную функции \(f"(x)\) к 3 и решить полученное уравнение:

\[ 3x^2 + 10x - 5 = 3 \]

Перенесем все члены в одну сторону уравнения:

\[ 3x^2 + 10x - 5 - 3 = 0 \]

\[ 3x^2 + 10x - 8 = 0 \]

Чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем использовать метод дискриминанта. Дискриминант квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) определяется как \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае:

\[ \begin{align*}
a &= 3 \\
b &= 10 \\
c &= -8 \\
\end{align*} \]

Подставим значения в формулу и вычислим дискриминант:

\[ D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) \]

\[ D = 100 + 96 \]

\[ D = 196 \]

Так как дискриминант \(D\) больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня. Решим его, используя формулу корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x = \frac{-10 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 3} \]

\[ x = \frac{-10 \pm 14}{6} \]

Теперь найдем два значения для \(x\):

1) Когда \(-10 + 14\) под корнем:

\[ x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]

2) Когда \(-10 - 14\) под корнем:

\[ x = \frac{-24}{6} = -4 \]

Таким образом, мы нашли две точки на графике функции \(y=x^3+5x^2-5x-18\), где наклон равен 3: \(\frac{2}{3}\) и -4. Однако, нам интересует только точка, где касательная параллельна прямой \(y=3x+30\), поэтому мы ищем только значение \(x\), соответствующее точке пересечения прямой и графика функции.

Для точки \(\frac{2}{3}\), подставим это значение в уравнение прямой \(y=3x+30\):

\[ y = 3 \cdot \frac{2}{3} + 30 = 2 + 30 = 32 \]

Таким образом, точка пересечения прямой \(y=3x+30\) и касательной к графику функции \(y=x^3+5x^2-5x-18\), параллельной этой прямой, имеет координаты \(\left(\frac{2}{3}, 32\right)\).

Минимальная абсцисса (значение \(x\)) этой точки равна \(\frac{2}{3}\).