Какова мера угла B в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C, если известно, что DA = 4 и AC = 8? Ответ

Хорошо, давайте решим эту задачу. В прямоугольном треугольнике, у которого один из углов является прямым, сумма всех углов равна 180 градусов.

Угол B является непрямым углом в треугольнике ABC. Мы можем найти его меру, используя теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Давайте обозначим длину гипотенузы треугольника ABC как BC. Используя теорему Пифагора, имеем:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]

Подставляя известные значения, у нас есть:

\[8^2 = 4^2 + BC^2\]

Решая этот уравнение, получаем:

\[64 = 16 + BC^2\]

Вычитаем 16 с обеих сторон:

\[BC^2 = 48\]

Поскольку длина стороны треугольника не может быть отрицательной, мы берем положительную квадратную корень:

\[BC = \sqrt{48}\]

Дальше, мы можем упростить это выражение:

\[BC = \sqrt{16 \cdot 3}\]

\[BC = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3}\]

\[BC = 4 \cdot \sqrt{3}\]

Теперь, когда мы знаем длину гипотенузы BC, мы можем найти меру угла B, используя тригонометрическую функцию тангенс:

\[\tan(B) = \frac{AB}{BC}\]

Подставляя известные значения, имеем:

\[\tan(B) = \frac{4}{4 \cdot \sqrt{3}}\]

Упрощая это выражение, получаем:

\[\tan(B) = \frac{1}{\sqrt{3}}\]

Теперь, чтобы найти меру угла B, мы возьмем обратную тангенс функцию от этого значения:

\[B = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\]

Используя калькулятор или таблицу тригонометрических функций, мы получаем:

\[B \approx 30 градусов\]

Таким образом, мера угла B в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C равна приблизительно 30 градусов.