Какова масса Юпитера, если спутник Ио делает полный оборот вокруг планеты за 1,77 суток, а большая полуось его орбиты

Для решения данной задачи нам понадобится закон всемирного тяготения Ньютона. Он гласит, что сила притяжения между двумя телами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Формула выглядит следующим образом:

\[F=G\frac{m_1 m_2}{r^2}\]

где F - сила притяжения, G - гравитационная постоянная (приблизительно равна \(6.67430 × 10^{-11} \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2\)), \(m_1\) и \(m_2\) - массы двух тел, \(r\) - расстояние между ними.

Мы знаем, что спутник Ио делает полный оборот вокруг Юпитера за 1,77 суток. Давайте найдем период обращения Ио в секундах:

\[T=1.77 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 \, \text{секунд}\]

Теперь мы можем использовать закон Кеплера для нахождения массы планеты Юпитер. Кеплеровский закон относится к гравитационным силам, действующим между небесными телами:

\[\frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{GM} \]

где \(T\) - период обращения спутника, \(a\) - большая полуось его орбиты, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) - масса планеты.

Известные значения для данной задачи:

\(T\) = найденный нами период обращения в секундах
\(a\) = 422 тысячи километров = \(4.22 \times 10^8\) метров
\(G\) = гравитационная постоянная

Мы ищем массу планеты Юпитер (\(M\)), поэтому давайте переупорядочим и решим уравнение относительно \(M\):

\[M=\frac{4\pi^2a^3}{GT^2}\]

Теперь, подставляя значения в эту формулу, мы сможем найти массу Юпитера. Давайте вычислим:

\[
\begin{align*}
M &= \frac{4\pi^2(4.22 \times 10^8)^3}{(6.67430 × 10^{-11})(1.77 \times 24 \times 60 \times 60)^2} \\
&= \frac{4\pi^2 \cdot 1.79 \times 10^{24}}{7.468 \times 10^{-10}} \\
&\approx 1.898 \times 10^{27}\, \text{кг}
\end{align*}
\]

Таким образом, масса Юпитера составляет приблизительно \(1.898 \times 10^{27}\) килограмм.