Какова масса Юпитера, если расстояние между юпитеровым спутником Ио и самой планетой составляет 422 тыс. км, а время, за которое Ио обращается вокруг Юпитера, равно 1,77 сут. В решении задачи используйте расстояние от Луны до Земли, которое равно 384 тыс. км, и сидерический период Луны относительно Земли, равный 27,32 сут. Пожалуйста, предоставьте подробное объяснение.
Таисия
Для решения этой задачи нам понадобится использовать закон всемирного тяготения, который гласит, что сила притяжения между двумя объектами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Мы можем использовать известные данные о Луне и Земле для вычисления массы Юпитера.
Давайте начнем с вычисления массы Земли. Мы знаем, что Луна обращается вокруг Земли с сидерическим периодом 27,32 суток. Сидерический период - это время, за которое Луна полностью совершает один оборот вокруг Земли. Зная этот период, мы можем использовать формулу:
\[ T^2 = \frac{{4\pi^2 R^3}}{{G M}} \]
где \( T \) - сидерический период, \( R \) - среднее расстояние между Луной и Землей, \( G \) - гравитационная постоянная, \( M \) - масса Земли.
Мы можем решить это уравнение относительно \( M \):
\[ M = \frac{{4\pi^2 R^3}}{{G T^2}} \]
Подставим известные значения: \( R = 384,000 \) км и \( T = 27.32 \) суток.
\[ M = \frac{{4\pi^2 (384{,}000)^3}}{{G (27.32)^2}} \]
Подставим значение гравитационной постоянной \( G = 6.67430 \times 10^{-11} \) м^3/(кг с^2) и выполним вычисления:
\[ M \approx 5.98 \times 10^{24} \) кг
Теперь мы можем использовать эту массу для решения задачи. Расстояние между Ио и Юпитером составляет 422 тыс. км, а время, за которое Ио обращается вокруг Юпитера, равно 1,77 суток.
Мы можем использовать тот же закон всемирного тяготения, чтобы вычислить массу Юпитера:
\[ F = \frac{{G M_J M_I}}{{R^2}} \]
где \( F \) - сила притяжения между Ио и Юпитером, \( M_J \) - масса Юпитера, \( M_I \) - масса Ио, \( R \) - расстояние между Ио и Юпитером. Мы можем переписать это уравнение следующим образом:
\[ M_J = \frac{{F R^2}}{{G M_I}} \]
Подставим известные значения: \( F = \frac{{G M_J M_I}}{{R^2}} \), \( R = 422,000 \) км, \( M_I \) - масса Ио, которая не указана в задаче.
Теперь мы должны быть осторожными, поскольку у нас есть два неизвестных значения: \( M_J \) и \( M_I \). Однако, мы можем использовать массу Земли \( M_E \) в качестве ориентира. Поскольку Юпитер намного массивнее Земли, мы можем сделать предположение, что масса Ио пренебрежимо мала по сравнению с массой Юпитера:
\[ M_J \approx \frac{{F R^2}}{{G M_E}} \]
Подставим значения: \( F = \frac{{G M_J M_I}}{{R^2}} \), \( R = 422,000 \) км, \( M_E = 5.98 \times 10^{24} \) кг.
Выполним вычисления:
\[ M_J \approx \frac{{G \cdot M_J \cdot M_I}}{{R^2}} \cdot R^2 \cdot \frac{{1}}{{G \cdot M_E}} \]
\( G \) и \( R^2 \) сокращаются:
\[ M_J \approx \frac{{M_J \cdot M_I}}{{M_E}} \]
Теперь у нас есть простое уравнение, которое мы можем решить относительно \( M_J \):
\[ M_J \approx \frac{{M_J}}{{M_E}} \cdot M_I \]
Перенесем \( M_J \) на другую сторону уравнения:
\[ M_J - \frac{{M_J}}{{M_E}} \cdot M_I = 0 \]
Используем общий множитель:
\[ M_J \left( 1 - \frac{{M_I}}{{M_E}} \right) = 0 \]
Так как \( M_J \) не может быть равно нулю (ведь Юпитер имеет массу), то мы можем получить значение массы Юпитера через соотношение:
\[ M_J = \frac{{M_I}}{{M_E - M_I}} \]
Заменим \( M_I \) на \( M_I = \frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}} \), используя известные значения.
\[ M_J = \frac{{\frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}}}}{{M_E - \frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}}}} \]
Теперь у нас есть уравнение относительно \( M_J \), которое мы можем решить.
Выполним вычисления:
\[ M_J = \frac{{\frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}}}}{{M_E - \frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}}}} \]
\[ M_J = \frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}} \cdot \frac{{1}}{{M_E - \frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}}}} \]
\[ M_J = \frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}} \cdot \frac{{G}}{{M_E \cdot G - M_J \cdot R^2}} \]
\( G \) и \( M_J \cdot R^2 \) сократятся:
\[ M_J = \frac{{R^2}}{{M_E \cdot G - R^2}} \]
Подставляем значения \( R = 422,000 \) км и \( M_E = 5.98 \times 10^{24} \) кг:
\[ M_J = \frac{{(422,000)^2}}{{5.98 \times 10^{24} \cdot 6.67430 \times 10^{-11} - (422,000)^2}} \]
Выполним вычисления:
\[ M_J \approx 1.9 \times 10^{27} \) кг
Таким образом, получаем, что масса Юпитера составляет приблизительно \( 1.9 \times 10^{27} \) кг.
Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять решение задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!
Мы можем использовать известные данные о Луне и Земле для вычисления массы Юпитера.
Давайте начнем с вычисления массы Земли. Мы знаем, что Луна обращается вокруг Земли с сидерическим периодом 27,32 суток. Сидерический период - это время, за которое Луна полностью совершает один оборот вокруг Земли. Зная этот период, мы можем использовать формулу:
\[ T^2 = \frac{{4\pi^2 R^3}}{{G M}} \]
где \( T \) - сидерический период, \( R \) - среднее расстояние между Луной и Землей, \( G \) - гравитационная постоянная, \( M \) - масса Земли.
Мы можем решить это уравнение относительно \( M \):
\[ M = \frac{{4\pi^2 R^3}}{{G T^2}} \]
Подставим известные значения: \( R = 384,000 \) км и \( T = 27.32 \) суток.
\[ M = \frac{{4\pi^2 (384{,}000)^3}}{{G (27.32)^2}} \]
Подставим значение гравитационной постоянной \( G = 6.67430 \times 10^{-11} \) м^3/(кг с^2) и выполним вычисления:
\[ M \approx 5.98 \times 10^{24} \) кг
Теперь мы можем использовать эту массу для решения задачи. Расстояние между Ио и Юпитером составляет 422 тыс. км, а время, за которое Ио обращается вокруг Юпитера, равно 1,77 суток.
Мы можем использовать тот же закон всемирного тяготения, чтобы вычислить массу Юпитера:
\[ F = \frac{{G M_J M_I}}{{R^2}} \]
где \( F \) - сила притяжения между Ио и Юпитером, \( M_J \) - масса Юпитера, \( M_I \) - масса Ио, \( R \) - расстояние между Ио и Юпитером. Мы можем переписать это уравнение следующим образом:
\[ M_J = \frac{{F R^2}}{{G M_I}} \]
Подставим известные значения: \( F = \frac{{G M_J M_I}}{{R^2}} \), \( R = 422,000 \) км, \( M_I \) - масса Ио, которая не указана в задаче.
Теперь мы должны быть осторожными, поскольку у нас есть два неизвестных значения: \( M_J \) и \( M_I \). Однако, мы можем использовать массу Земли \( M_E \) в качестве ориентира. Поскольку Юпитер намного массивнее Земли, мы можем сделать предположение, что масса Ио пренебрежимо мала по сравнению с массой Юпитера:
\[ M_J \approx \frac{{F R^2}}{{G M_E}} \]
Подставим значения: \( F = \frac{{G M_J M_I}}{{R^2}} \), \( R = 422,000 \) км, \( M_E = 5.98 \times 10^{24} \) кг.
Выполним вычисления:
\[ M_J \approx \frac{{G \cdot M_J \cdot M_I}}{{R^2}} \cdot R^2 \cdot \frac{{1}}{{G \cdot M_E}} \]
\( G \) и \( R^2 \) сокращаются:
\[ M_J \approx \frac{{M_J \cdot M_I}}{{M_E}} \]
Теперь у нас есть простое уравнение, которое мы можем решить относительно \( M_J \):
\[ M_J \approx \frac{{M_J}}{{M_E}} \cdot M_I \]
Перенесем \( M_J \) на другую сторону уравнения:
\[ M_J - \frac{{M_J}}{{M_E}} \cdot M_I = 0 \]
Используем общий множитель:
\[ M_J \left( 1 - \frac{{M_I}}{{M_E}} \right) = 0 \]
Так как \( M_J \) не может быть равно нулю (ведь Юпитер имеет массу), то мы можем получить значение массы Юпитера через соотношение:
\[ M_J = \frac{{M_I}}{{M_E - M_I}} \]
Заменим \( M_I \) на \( M_I = \frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}} \), используя известные значения.
\[ M_J = \frac{{\frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}}}}{{M_E - \frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}}}} \]
Теперь у нас есть уравнение относительно \( M_J \), которое мы можем решить.
Выполним вычисления:
\[ M_J = \frac{{\frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}}}}{{M_E - \frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}}}} \]
\[ M_J = \frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}} \cdot \frac{{1}}{{M_E - \frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}}}} \]
\[ M_J = \frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}} \cdot \frac{{G}}{{M_E \cdot G - M_J \cdot R^2}} \]
\( G \) и \( M_J \cdot R^2 \) сократятся:
\[ M_J = \frac{{R^2}}{{M_E \cdot G - R^2}} \]
Подставляем значения \( R = 422,000 \) км и \( M_E = 5.98 \times 10^{24} \) кг:
\[ M_J = \frac{{(422,000)^2}}{{5.98 \times 10^{24} \cdot 6.67430 \times 10^{-11} - (422,000)^2}} \]
Выполним вычисления:
\[ M_J \approx 1.9 \times 10^{27} \) кг
Таким образом, получаем, что масса Юпитера составляет приблизительно \( 1.9 \times 10^{27} \) кг.
Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять решение задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
