Какова масса Юпитера, если расстояние между юпитеровым спутником Ио и самой планетой составляет 422 тыс. км, а время, за которое Ио обращается вокруг Юпитера, равно 1,77 сут. В решении задачи используйте расстояние от Луны до Земли, которое равно 384 тыс. км, и сидерический период Луны относительно Земли, равный 27,32 сут. Пожалуйста, предоставьте подробное объяснение.
ИИ помощник в учёбе
Таисия
Для решения этой задачи нам понадобится использовать закон всемирного тяготения, который гласит, что сила притяжения между двумя объектами пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Мы можем использовать известные данные о Луне и Земле для вычисления массы Юпитера.
Давайте начнем с вычисления массы Земли. Мы знаем, что Луна обращается вокруг Земли с сидерическим периодом 27,32 суток. Сидерический период - это время, за которое Луна полностью совершает один оборот вокруг Земли. Зная этот период, мы можем использовать формулу:
\[ T^2 = \frac{{4\pi^2 R^3}}{{G M}} \]
где \( T \) - сидерический период, \( R \) - среднее расстояние между Луной и Землей, \( G \) - гравитационная постоянная, \( M \) - масса Земли.
Мы можем решить это уравнение относительно \( M \):
\[ M = \frac{{4\pi^2 R^3}}{{G T^2}} \]
Подставим известные значения: \( R = 384,000 \) км и \( T = 27.32 \) суток.
\[ M = \frac{{4\pi^2 (384{,}000)^3}}{{G (27.32)^2}} \]
Подставим значение гравитационной постоянной \( G = 6.67430 \times 10^{-11} \) м^3/(кг с^2) и выполним вычисления:
\[ M \approx 5.98 \times 10^{24} \) кг
Теперь мы можем использовать эту массу для решения задачи. Расстояние между Ио и Юпитером составляет 422 тыс. км, а время, за которое Ио обращается вокруг Юпитера, равно 1,77 суток.
Мы можем использовать тот же закон всемирного тяготения, чтобы вычислить массу Юпитера:
\[ F = \frac{{G M_J M_I}}{{R^2}} \]
где \( F \) - сила притяжения между Ио и Юпитером, \( M_J \) - масса Юпитера, \( M_I \) - масса Ио, \( R \) - расстояние между Ио и Юпитером. Мы можем переписать это уравнение следующим образом:
\[ M_J = \frac{{F R^2}}{{G M_I}} \]
Подставим известные значения: \( F = \frac{{G M_J M_I}}{{R^2}} \), \( R = 422,000 \) км, \( M_I \) - масса Ио, которая не указана в задаче.
Теперь мы должны быть осторожными, поскольку у нас есть два неизвестных значения: \( M_J \) и \( M_I \). Однако, мы можем использовать массу Земли \( M_E \) в качестве ориентира. Поскольку Юпитер намного массивнее Земли, мы можем сделать предположение, что масса Ио пренебрежимо мала по сравнению с массой Юпитера:
\[ M_J \approx \frac{{F R^2}}{{G M_E}} \]
Подставим значения: \( F = \frac{{G M_J M_I}}{{R^2}} \), \( R = 422,000 \) км, \( M_E = 5.98 \times 10^{24} \) кг.
Выполним вычисления:
\[ M_J \approx \frac{{G \cdot M_J \cdot M_I}}{{R^2}} \cdot R^2 \cdot \frac{{1}}{{G \cdot M_E}} \]
\( G \) и \( R^2 \) сокращаются:
\[ M_J \approx \frac{{M_J \cdot M_I}}{{M_E}} \]
Теперь у нас есть простое уравнение, которое мы можем решить относительно \( M_J \):
\[ M_J \approx \frac{{M_J}}{{M_E}} \cdot M_I \]
Перенесем \( M_J \) на другую сторону уравнения:
\[ M_J - \frac{{M_J}}{{M_E}} \cdot M_I = 0 \]
Используем общий множитель:
\[ M_J \left( 1 - \frac{{M_I}}{{M_E}} \right) = 0 \]
Так как \( M_J \) не может быть равно нулю (ведь Юпитер имеет массу), то мы можем получить значение массы Юпитера через соотношение:
\[ M_J = \frac{{M_I}}{{M_E - M_I}} \]
Заменим \( M_I \) на \( M_I = \frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}} \), используя известные значения.
\[ M_J = \frac{{\frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}}}}{{M_E - \frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}}}} \]
Теперь у нас есть уравнение относительно \( M_J \), которое мы можем решить.
Выполним вычисления:
\[ M_J = \frac{{\frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}}}}{{M_E - \frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}}}} \]
\[ M_J = \frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}} \cdot \frac{{1}}{{M_E - \frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}}}} \]
\[ M_J = \frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}} \cdot \frac{{G}}{{M_E \cdot G - M_J \cdot R^2}} \]
\( G \) и \( M_J \cdot R^2 \) сократятся:
\[ M_J = \frac{{R^2}}{{M_E \cdot G - R^2}} \]
Подставляем значения \( R = 422,000 \) км и \( M_E = 5.98 \times 10^{24} \) кг:
\[ M_J = \frac{{(422,000)^2}}{{5.98 \times 10^{24} \cdot 6.67430 \times 10^{-11} - (422,000)^2}} \]
Выполним вычисления:
\[ M_J \approx 1.9 \times 10^{27} \) кг
Таким образом, получаем, что масса Юпитера составляет приблизительно \( 1.9 \times 10^{27} \) кг.
Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять решение задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!
Мы можем использовать известные данные о Луне и Земле для вычисления массы Юпитера.
Давайте начнем с вычисления массы Земли. Мы знаем, что Луна обращается вокруг Земли с сидерическим периодом 27,32 суток. Сидерический период - это время, за которое Луна полностью совершает один оборот вокруг Земли. Зная этот период, мы можем использовать формулу:
\[ T^2 = \frac{{4\pi^2 R^3}}{{G M}} \]
где \( T \) - сидерический период, \( R \) - среднее расстояние между Луной и Землей, \( G \) - гравитационная постоянная, \( M \) - масса Земли.
Мы можем решить это уравнение относительно \( M \):
\[ M = \frac{{4\pi^2 R^3}}{{G T^2}} \]
Подставим известные значения: \( R = 384,000 \) км и \( T = 27.32 \) суток.
\[ M = \frac{{4\pi^2 (384{,}000)^3}}{{G (27.32)^2}} \]
Подставим значение гравитационной постоянной \( G = 6.67430 \times 10^{-11} \) м^3/(кг с^2) и выполним вычисления:
\[ M \approx 5.98 \times 10^{24} \) кг
Теперь мы можем использовать эту массу для решения задачи. Расстояние между Ио и Юпитером составляет 422 тыс. км, а время, за которое Ио обращается вокруг Юпитера, равно 1,77 суток.
Мы можем использовать тот же закон всемирного тяготения, чтобы вычислить массу Юпитера:
\[ F = \frac{{G M_J M_I}}{{R^2}} \]
где \( F \) - сила притяжения между Ио и Юпитером, \( M_J \) - масса Юпитера, \( M_I \) - масса Ио, \( R \) - расстояние между Ио и Юпитером. Мы можем переписать это уравнение следующим образом:
\[ M_J = \frac{{F R^2}}{{G M_I}} \]
Подставим известные значения: \( F = \frac{{G M_J M_I}}{{R^2}} \), \( R = 422,000 \) км, \( M_I \) - масса Ио, которая не указана в задаче.
Теперь мы должны быть осторожными, поскольку у нас есть два неизвестных значения: \( M_J \) и \( M_I \). Однако, мы можем использовать массу Земли \( M_E \) в качестве ориентира. Поскольку Юпитер намного массивнее Земли, мы можем сделать предположение, что масса Ио пренебрежимо мала по сравнению с массой Юпитера:
\[ M_J \approx \frac{{F R^2}}{{G M_E}} \]
Подставим значения: \( F = \frac{{G M_J M_I}}{{R^2}} \), \( R = 422,000 \) км, \( M_E = 5.98 \times 10^{24} \) кг.
Выполним вычисления:
\[ M_J \approx \frac{{G \cdot M_J \cdot M_I}}{{R^2}} \cdot R^2 \cdot \frac{{1}}{{G \cdot M_E}} \]
\( G \) и \( R^2 \) сокращаются:
\[ M_J \approx \frac{{M_J \cdot M_I}}{{M_E}} \]
Теперь у нас есть простое уравнение, которое мы можем решить относительно \( M_J \):
\[ M_J \approx \frac{{M_J}}{{M_E}} \cdot M_I \]
Перенесем \( M_J \) на другую сторону уравнения:
\[ M_J - \frac{{M_J}}{{M_E}} \cdot M_I = 0 \]
Используем общий множитель:
\[ M_J \left( 1 - \frac{{M_I}}{{M_E}} \right) = 0 \]
Так как \( M_J \) не может быть равно нулю (ведь Юпитер имеет массу), то мы можем получить значение массы Юпитера через соотношение:
\[ M_J = \frac{{M_I}}{{M_E - M_I}} \]
Заменим \( M_I \) на \( M_I = \frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}} \), используя известные значения.
\[ M_J = \frac{{\frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}}}}{{M_E - \frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}}}} \]
Теперь у нас есть уравнение относительно \( M_J \), которое мы можем решить.
Выполним вычисления:
\[ M_J = \frac{{\frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}}}}{{M_E - \frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}}}} \]
\[ M_J = \frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}} \cdot \frac{{1}}{{M_E - \frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}}}} \]
\[ M_J = \frac{{M_J \cdot R^2}}{{G}} \cdot \frac{{G}}{{M_E \cdot G - M_J \cdot R^2}} \]
\( G \) и \( M_J \cdot R^2 \) сократятся:
\[ M_J = \frac{{R^2}}{{M_E \cdot G - R^2}} \]
Подставляем значения \( R = 422,000 \) км и \( M_E = 5.98 \times 10^{24} \) кг:
\[ M_J = \frac{{(422,000)^2}}{{5.98 \times 10^{24} \cdot 6.67430 \times 10^{-11} - (422,000)^2}} \]
Выполним вычисления:
\[ M_J \approx 1.9 \times 10^{27} \) кг
Таким образом, получаем, что масса Юпитера составляет приблизительно \( 1.9 \times 10^{27} \) кг.
Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять решение задачи. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их!
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
