Какова масса воды в баке, заполненном садоводом, если бак имеет форму прямоугольного параллелепипеда с длинными

Для решения данной задачи нам необходимо разобраться с указанными данными и последовательно выполнить несколько шагов. Давайте начнем.

1. У нас есть информация о пропорциях бака. Согласно условию, соотношение длинных ребер бака составляет 1:1:2. Представим эти длины в виде следующих переменных: \(x, y\) и \(2y\) (где \(x\) и \(y\) - неизвестные величины).

Используя данную информацию, мы можем составить следующее уравнение: \(x + y + 2y = 48\).

2. Полученное уравнение позволяет нам найти значения \(x\) и \(y\). Решим его с учетом предоставленных данных.

\(x + y + 2y = 48\) упрощается до \(x + 3y = 48\).

Теперь, когда у нас есть уравнение с двумя неизвестными, мы можем использовать метод замещения или метод сложения/вычитания.

Предположим, что мы решили использовать метод замещения и решили вводить переменную \(y\).

Выразим \(x\) через \(y\) из уравнения \(x + 3y = 48\):

\(x = 48 - 3y\).

3. Теперь, когда у нас есть значения \(x\) и \(y\), мы можем рассчитать объем бака.

Объем прямоугольного параллелепипеда можно вычислить, умножив его длину, ширину и высоту. Используя формулу объема \(V = xyz\), мы можем заменить переменные значениями:

\(V = (48 - 3y) \cdot y \cdot 2y\).

4. Теперь, чтобы найти массу воды в баке, умножим полученный объем на плотность воды. Согласно условию, 1 литр воды имеет массу 1 кг. Однако, нам необходимо перевести объем из литров в кубические метры и массу из килограмм в тонны. Для этого мы воспользуемся следующей информацией:

- 1 литр = 0,001 кубического метра (1 кубический метр = 1000 литров)
- 1 тонна = 1000 килограмм

Используя эти соотношения, мы можем записать формулу для массы воды:

\(M = V \cdot \rho\), где \(M\) - масса воды, \(V\) - объем в кубических метрах, \(\rho\) - плотность воды в тоннах на кубический метр.

Плотность воды \(\rho = 1\) тонна на кубический метр, так как 1 литр воды имеет массу 1 кг и объем 0,001 кубического метра.

5. Теперь, когда у нас есть формула для расчета массы воды и значения всех переменных, давайте выполним необходимые вычисления:

Подставим выражение для объема \(V\) в формулу для массы \(M\):

\(M = (48 - 3y) \cdot y \cdot 2y \cdot 1\).

Теперь приведем полученное уравнение к более простому виду:

\(M = 2y^3(48 - 3y)\).

Подставим числовые значения и выполним вычисления:

\[M = 2y^3(48 - 3y)\]

\[M = 2 \cdot (y^3) \cdot (48 - 3y)\]

\[M = 2(48y^3 - 3y^4)\]

\[M = 96y^3 - 6y^4\].

6. Получили уравнение для массы воды \(M\) в зависимости от переменной \(y\). Теперь найдем значение \(y\), чтобы найти максимальную массу воды.

Для этого возьмем производную от функции \(M\) и приравняем ее к нулю:

\(\frac{dM}{dy} = 0\).

Подставим уравнение для \(M\) и возьмем производную:

\(\frac{d(96y^3 - 6y^4)}{dy} = 0\).

Как результат, получим следующее уравнение:

\(288y^2 - 24y^3 = 0\).

Решим его:

\(y^2(288 - 24y) = 0\).

Данное уравнение имеет два решения: \(y = 0\) и \(y = 12\).

7. Теперь имея значения переменной \(y = 0\) и \(y = 12\), давайте найдем соответствующие значения массы воды \(M\):

Для \(y = 0\):

\(M = 96(0)^3 - 6(0)^4 = 0\).

Для \(y = 12\):

\(M = 96(12)^3 -6(12)^4 \approx 96 \cdot 1,728 - 6 \cdot 20,736 \approx 166,464 - 124,416 \approx 42,048\) (округляем до тысяч).

Ответ представим в тоннах, поэтому переведем массу воды из килограмм в тонны:

\(42,048\) кг = \(42,048\) / \(1000\) тon = \(42,048\) тонн. (три значащих цифры после запятой).

Таким образом, масса воды в баке, заполненном садоводом, составляет примерно \(42,048\) тонн.