Какова масса планеты, если ее радиус в два раза превосходит земной, а сила тяжести равна земной (ответ выразите

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться законом всемирного тяготения Ньютона, который гласит, что сила тяготения между двумя объектами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Пусть масса планеты будет обозначена как \(M\), а радиус планеты - как \(R\). Также у нас есть известные данные: радиус планеты в два раза превосходит радиус Земли (\(R = 2R_\oplus\)) и сила тяжести на этой планете равна силе тяжести на Земле.

Формула для силы тяготения между двумя телами выглядит следующим образом:

\[F = G\frac{Mm}{r^2},\]

где \(F\) - сила тяготения, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M\) и \(m\) - массы двух объектов, а \(r\) - расстояние между ними.

Обратим внимание, что сила тяготения на планете равна силе тяготения на Земле (\(F = F_\oplus\)), масса малого объекта (в данном случае школьника) относительно земной массы равна 1 (\(m = 1\)), а расстояние от центра планеты до школьника - \(R\). Также воспользуемся тем, что \(R = 2R_\oplus\).

Теперь можем записать уравнение силы тяготения на планете:

\[F_\oplus = G\frac{Mm}{r^2}.\]

Подставим известные значения:

\[F_\oplus = G\frac{M}{(2R_\oplus)^2}.\]

Также заметим, что сила тяжести на Земле равна \(F_\oplus = mg_\oplus\), где \(g_\oplus\) - ускорение свободного падения на Земле.

Подставим это в уравнение:

\[mg_\oplus = G\frac{M}{(2R_\oplus)^2}.\]

Отсюда выразим \(M\):

\[M = \frac{mg_\oplus (2R_\oplus)^2}{G}.\]

Теперь мы можем подставить известные значения, чтобы получить численный ответ. Гравитационная постоянная \(G\) равна примерно \(6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)\), масса Земли \(m\) равна примерно \(5.972 \times 10^{24}\, \text{кг}\), ускорение свободного падения \(g_\oplus\) равно примерно \(9.8\, \text{м/с}^2\), а радиус Земли \(R_\oplus\) равен примерно \(6.371 \times 10^{6}\, \text{м}\).

Подставим эти значения в уравнение:

\[M = \frac{(5.972 \times 10^{24}\, \text{кг}) \cdot (9.8\, \text{м/с}^2) \cdot (2(6.371 \times 10^{6}\, \text{м}))^2}{6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{с}^2)}.\]

После расчетов получим конечный ответ.

\[M \approx 47.002 \times 10^{24}\, \text{кг}.\]

Таким образом, масса планеты примерно в 47 002 раза больше массы Земли.