Какова максимальная выручка, если цена равна 4, а количество равно 120, при известном монополисту, что максимальная

Для решения данной задачи, нам понадобится знать функцию спроса и определить значение, при котором максимальная выручка достигается.

Задано, что функция спроса является линейной. Представим функцию спроса в виде уравнения прямой:

\(Q = a - bP\),

где \(Q\) - количество, \(P\) - цена, и \(a\) и \(b\) - константы, которые мы должны определить.

Известно, что максимальная цена составляет 8. Зная это, мы можем использовать эту информацию, чтобы определить \(a\) и \(b\):

Когда \(P = 8\), количество \(Q\) должно быть равно 0. Подставим эти значения в уравнение:

\(0 = a - b \cdot 8\).

Теперь рассмотрим другую известную информацию: цена \(P\) равна 4, а количество \(Q\) равно 120. Подставив эти значения в уравнение, получаем:

\(120 = a - b \cdot 4\).

Используя эти два уравнения, мы можем решить систему уравнений и определить значения \(a\) и \(b\). Решим систему:

\[
\begin{align*}
0 &= a - 8b\\
120 &= a - 4b\\
\end{align*}
\]

Вычтем из первого уравнения второе уравнение:

\[
\begin{align*}
-120 &= -4b - (-8b)\\
120 &= 4b\\
b &= 30\\
\end{align*}
\]

Теперь, используя найденное значение для \(b\), можем подставить его в одно из исходных уравнений для определения \(a\). Давайте возьмем первое уравнение:

\(0 = a - 8 \cdot 30\),

\(240 = a\).

Итак, мы нашли значения для \(a\) и \(b\): \(a = 240\) и \(b = 30\).

Теперь, зная функцию спроса \(Q = a - bP\), мы можем вычислить значение максимальной выручки.

Максимальная выручка достигается в той точке, где производная функции выручки по цене равна нулю. Для этого вычислим производную функции выручки:

\(R = PQ = (a - bP)P = aP - bP^2\).

Производная:
\(\frac{dR}{dP} = a - 2bP\).

Теперь найдем такую цену \(P\), при которой производная равна нулю:

\(0 = a - 2bP\).

Подставляя значения \(a = 240\) и \(b = 30\), получим:

\(0 = 240 - 2 \cdot 30P\).

Решим это уравнение относительно \(P\):

\(60P = 240\),

\(P = \frac{240}{60} = 4\).

Таким образом, цена \(P\), при которой максимальная выручка достигается, равна 4.

Теперь подставим эту цену обратно в уравнение спроса \(Q = a - bP\) для определения соответствующего количества \(Q\):

\(Q = 240 - 30 \cdot 4\),

\(Q = 240 - 120\),

\(Q = 120\).

Итак, максимальная выручка достигается при цене 4 и составляет \(P \cdot Q = 4 \cdot 120 = 480\) единиц.