Какова линейная скорость движения центра масс обруча, который скатывается без скольжения по наклонной плоскости, если

Чтобы определить линейную скорость движения центра масс обруча, скатывающегося без скольжения по наклонной плоскости, мы можем использовать принцип сохранения механической энергии. Для начала, обратимся к энергетическому балансу.

На начальном этапе обруч находится в покое, поэтому его кинетическая энергия \(K_{start}\) равна нулю. Получаем:

\[K_{start} = 0\]

Затем обруч начинает двигаться, его высота уменьшается, но при этом сохраняется его состояние без скольжения. Таким образом, потенциальная энергия \(U_{start}\) приходит в движение и превращается в кинетическую энергию \(K_{end}\) обруча. Следующий закон сохранения механической энергии поможет нам связать эти энергии:

\[K_{start} + U_{start} = K_{end}\]

Потенциальная энергия обруча на начальном этапе может быть записана как \(U_{start} = m \cdot g \cdot h\), где \(m\) - масса обруча, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - высота обруча относительно исходного положения.
Нам известно, что начальная скорость равна нулю, поэтому кинетическая энергия обруча на конечном этапе обозначается \(K_{end} = \frac{1}{2} m v^2\), где \(v\) - линейная скорость центра масс обруча.

Поскольку обруч скатывается без скольжения по наклонной плоскости, будем считать, что момент инерции обруча вокруг его оси \(I\) равен \(m \cdot r^2\), где \(r\) - радиус обруча. Для обруча \(I = m \cdot r^2\) и момент инерции передвигающейся массы \(m\) равен \(m \cdot r^2\). Тогда момент инерции можно представить как \(m \cdot r^2 + m \cdot r^2 = 2m \cdot r^2\).

Отсюда следует, что \(U_{start} = m \cdot g \cdot h = m \cdot g \cdot r \cdot sin(\theta)\), где \(h = r \cdot sin(\theta)\) - высота обруча относительно исходного положения.

Теперь мы можем записать закон сохранения механической энергии:

\[0 + m \cdot g \cdot r \cdot sin(\theta) = \frac{1}{2} m v^2\]

Выразим линейную скорость в формуле:

\[v = \sqrt{2 \cdot g \cdot r \cdot sin(\theta)}\]

Таким образом, чтобы определить линейную скорость движения центра масс обруча, который скатывается без скольжения по наклонной плоскости, мы должны использовать формулу \(v = \sqrt{2 \cdot g \cdot r \cdot sin(\theta)}\).

Угол наклона плоскости составляет 30 градусов, поэтому мы можем подставить это значение в формулу:

\[v = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot r \cdot sin(30^\circ)}\]

Мы не знаем конкретные значения радиуса обруча, поэтому не можем вычислить точное значение линейной скорости. Однако мы можем выразить линейную скорость численно для конкретного радиуса, если нам даны значения радиуса и других физических параметров обруча.