Какова кинетическая энергия протона (Ек), при которой ее относительная неопределенность (ΔЕК/ЕК) составит

Чтобы решить эту задачу, нужно использовать соотношение неопределенности Гейзенберга, которое связывает неопределенность координаты и неопределенность импульса:

\[\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{4\pi}\]

Где \(\Delta x\) - неопределенность координаты (примем за пределы самого протона его размер: \(1 \times 10^{-15}\) метров),

\(\Delta p\) - неопределенность импульса (который можно рассчитать как произведение массы протона на его скорость, так как у протона нет массы покоя, возьмем \(\Delta p = m_p \cdot v\)),

\(h\) - постоянная Планка (\(6.626 \times 10^{-34}\) Дж·с).

Определим относительную неопределенность кинетической энергии протона:

\[\frac{\Delta E_k}{E_k} = \frac{\Delta(0,5 \cdot m_p \cdot v^2)}{0,5 \cdot m_p \cdot v^2} = \frac{2 \cdot \Delta p}{2 \cdot m_p \cdot v^2}\]

По условию, относительная неопределенность должна быть примерно равна 0,01, поэтому:

\[\frac{\Delta E_k}{E_k} \approx 0,01\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительных неопределенностей, чтобы найти значение кинетической энергии протона.

\[\frac{2 \cdot \Delta p}{2 \cdot m_p \cdot v^2} \approx 0,01\]

\[\Delta p \approx 0,01 \cdot 2 \cdot m_p \cdot v^2\]

Заменим \(\Delta p\) на \(\Delta x \cdot m_p \cdot v\), используя соотношение неопределенности Гейзенберга:

\[\Delta x \cdot m_p \cdot v \approx 0,01 \cdot 2 \cdot m_p \cdot v^2\]

Учтите значения \(\Delta x = 1 \times 10^{-15}\) метров и \(m_p = 1,67 \times 10^{-27}\) кг:

\[1 \times 10^{-15} \cdot 1,67 \times 10^{-27} \cdot v \approx 0,01 \cdot 2 \cdot 1,67 \times 10^{-27} \cdot v^2\]

Теперь, сокращая массу протона и упрощая уравнение, мы получаем:

\[v \approx 0,01 \cdot 2 \cdot v^2\]

\[1 \approx 0,01 \cdot 2 \cdot v\]

\[v \approx \frac{1}{0,01 \cdot 2} = 50\]

Теперь, когда у нас есть значение скорости (\(v\)), мы можем рассчитать кинетическую энергию протона (\(E_k\)):

\[E_k = 0,5 \cdot m_p \cdot v^2\]

Учтите значение \(m_p = 1,67 \times 10^{-27}\) кг:

\[E_k = 0,5 \cdot 1,67 \times 10^{-27} \cdot 50^2\]

Рассчитывая это выражение, получаем:

\[E_k \approx 2,08 \times 10^{-16}\] эВ