Какова индукция магнитного поля в точке О плоского контура с током 3 А, выполненного из тонкого провода? Радиус контура

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать закон Био-Савара-Лапласа, который связывает магнитное поле создаваемое элементом провода с током и позицией точки, в которой мы хотим вычислить индукцию магнитного поля. Закон Био-Савара-Лапласа может быть записан следующим образом:

\[
\Delta \mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\mathbf{l} \times \mathbf{r}}{r^3}
\]

Где \(\Delta \mathbf{B}\) - малый вектор магнитной индукции, \(\mu_0\) - магнитная постоянная, \(I\) - ток, \(d\mathbf{l}\) - элемент провода, \(\mathbf{r}\) - радиус-вектор от элемента провода до точки наблюдения, а \(r\) - расстояние между элементом провода и точкой наблюдения.

Для плоского контура с током, выполненного из тонкого провода, мы можем представить его как множество элементов провода \(d\mathbf{l}\), взаимодействующих друг с другом, чтобы создать магнитное поле в точке О.

Чтобы вычислить магнитное поле в точке О, вызванное каждым элементом провода, мы можем просто интегрировать по всем элементам контура:

\[
\mathbf{B} = \int \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\mathbf{l} \times \mathbf{r}}{r^3}
\]

Однако, поскольку контур является плоским, векторное произведение \(d\mathbf{l} \times \mathbf{r}\) будет направлено перпендикулярно плоскости контура в каждой точке. Поэтому мы можем выводить из под знака интеграла векторное произведение и интегрировать только по координате \(z\) (нормальной к плоскости контура).

Теперь рассмотрим элемент контура \(d\mathbf{l}\). Поскольку контур является плоским, координаты \(x\) и \(y\) элементов контура не меняются, а \(dz\) считается малым и длина элемента провода будет равна \(dl\).

Тогда выражение для индукции магнитного поля в точке О от элемента провода может быть записано следующим образом:

\[
\Delta \mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl}{r^2} \sin(\theta)
\]

Где \(\theta\) - угол между направлением элемента провода и вектором \(\mathbf{r}\).

Теперь нам нужно проинтегрировать это выражение по всем элементам контура от 0 до \(2\pi\), чтобы получить полное магнитное поле от контура. Поскольку наш контур имеет радиус \(R\), мы используем переменные \(r\) и \(\theta\) следующим образом:

\[
\mathbf{B} = \int_0^{2\pi} \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I dl}{r^2} \sin(\theta)
\]

\[
= \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int_0^{2\pi} \frac{R d\theta}{r^2} \sin(\theta)
\]

Теперь, чтобы получить окончательный ответ, нам нужно вычислить этот интеграл. Мы можем заметить, что интеграл \(\int \sin(\theta) d\theta = -\cos(\theta)\), и его пределы интегрирования равны от 0 до \(2\pi\). Так как \(\cos(2\pi) - \cos(0) = 0\), мы заключаем, что интеграл по переменной \(\theta\) равен 0.

Таким образом, полное магнитное поле в точке О плоского контура с током равно нулю. Это объясняется тем, что магнитные поля, создаваемые элементами провода, взаимно уничтожаются, так как они равны по абсолютной величине, но противоположны по направлению.

Надеюсь, это подробное решение помогло вам понять, какова индукция магнитного поля в точке О плоского контура с током. Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.