Какова индукция магнитного поля в точках на оси между двумя круговыми витками, расположенными параллельно друг другу

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться законом Био-Савара-Лапласа, который говорит нам о магнитном поле, создаваемом электрическим током. Закон гласит, что индукция магнитного поля \( B \) в точке \( P \) на расстоянии \( r \) от проводника с током пропорциональна току \( I \), проходящему через этот проводник, и обратно пропорциональна квадрату расстояния \( d \) от проводника до точки \( P \). Формула закона Био-Савара-Лапласа имеет вид:

\[ \Delta B = \frac{{\mu_0 \cdot I}}{{4\pi}} \cdot \frac{{d\vec{l} \times \hat{r}}}{{r^2}} \]

где \( \Delta B \) обозначает вклад в магнитное поле от краткого участка проводника \( d\vec{l} \), \( \mu_0 \) - магнитная постоянная, \( \hat{r} \) - единичный радиус-вектор от проводника к точке \( P \), а \( r \) - расстояние от проводника до точки \( P \).

Для начала рассмотрим первый круговой виток с радиусом \( r_1 \) и током \( I_1 \). Мы хотим определить индукцию магнитного поля \( B_1 \) в точке \( P \) на оси между витками, на расстоянии \( r \) от первого витка. Поскольку направления токов одинаковы, в силу суперпозиции, общая индукция магнитного поля в этой точке будет равна сумме индукций магнитного поля, создаваемых каждым витком отдельно.

Рассмотрим краткий участок проводника \( d\vec{l_1} \) на первом витке. Этот участок имеет длину \( dl_1 \), что соответствует малому элементарному углу \( d\theta_1 = \frac{{dl_1}}{{r_1}} \). Тогда малый вектор \( d\vec{l_1} = r_1 \cdot d\theta_1 \cdot \hat{\theta_1} \), где \( \hat{\theta_1} \) - единичный вектор направления обхода проводника. Теперь мы можем записать формулу закона Био-Савара-Лапласа для этого участка:

\[ \Delta B_1 = \frac{{\mu_0 \cdot I_1}}{{4\pi}} \cdot \frac{{d\vec{l_1} \times \hat{r_1}}}{{r^2}} \]

где \( \hat{r_1} \) - единичный радиус-вектор от участка проводника \( d\vec{l_1} \) к точке \( P \). Заметим, что векторное произведение \( d\vec{l_1} \times \hat{r_1} \) будет направлено перпендикулярно плоскости проводника и радиус-вектору \( \hat{r_1} \).

Теперь определим расстояние \( d \) от элементарного участка проводника \( d\vec{l_1} \) до точки \( P \). Для этого воспользуемся теоремой косинусов, примененной к треугольнику, составленному из радиуса витка \( r_1 \), радиуса \( r \) и катета \( l \):

\[ d^2 = r_1^2 + r^2 - 2 \cdot r_1 \cdot r \cdot \cos(\theta_1) \]

где \( \theta_1 \) - угол между радиусом витка и радиусом \( r \). Учитывая, что \( d\vec{l_1} \) и \( \hat{r_1} \) перпендикулярны, получим \( \cos(\theta_1) = \frac{{r}}{{d}} \).

Теперь мы можем переписать формулу для индукции магнитного поля от элементарного участка проводника \( d\vec{l_1} \) в более удобном виде:

\[ \Delta B_1 = \frac{{\mu_0 \cdot I_1}}{{4\pi}} \cdot \frac{{r_1 \cdot d\theta_1}}{{d^2}} \cdot \hat{z} \]

где \( \hat{z} \) - единичный вектор вдоль оси \( z \).

Теперь мы можем найти индукцию магнитного поля \( B_1 \) в точке \( P \) от первого витка, интегрируя по всей окружности витка:

\[ B_1 = \oint \Delta B_1 = \oint \frac{{\mu_0 \cdot I_1}}{{4\pi}} \cdot \frac{{r_1 \cdot d\theta_1}}{{d^2}} \cdot \hat{z} \]

известно, что \( \oint d\theta_1 = 2\pi \), и, следовательно, можно переписать формулу:

\[ B_1 = \frac{{\mu_0 \cdot I_1 \cdot r_1}}{{4\pi \cdot d^2}} \cdot \hat{z} \]

Теперь рассмотрим второй круговой виток с радиусом \( r_2 \) и током \( I_2 \). Аналогично предыдущему случаю, индукцию магнитного поля \( B_2 \) в точке \( P \) от второго витка можно записать следующим образом:

\[ B_2 = \frac{{\mu_0 \cdot I_2 \cdot r_2}}{{4\pi \cdot d^2}} \cdot \hat{z} \]

Общая индукция магнитного поля в точке \( P \) будет равна сумме индукций магнитного поля от первого и второго витков:

\[ B = B_1 + B_2 = \frac{{\mu_0 \cdot I_1 \cdot r_1 + \mu_0 \cdot I_2 \cdot r_2}}{{4\pi \cdot d^2}} \cdot \hat{z} \]

Теперь мы можем использовать данную формулу для построения графика зависимости \( B \) от \( r \) для точек на оси, расположенных на расстоянии \( r \) от первого витка.

В данной задаче известны значения \( r_1 = 0.1 \, \text{м} \), \( r_2 = 0.1 \, \text{м} \), \( I_1 = 4 \, \text{А} \), \( I_2 = 2 \, \text{А} \), \( l = 0.06 \, \text{м} \) и \( r = 0 \). Подставив эти значения в формулу, получим:

\[ B = \frac{{\mu_0 \cdot (4 \cdot 0.1 + 2 \cdot 0.1)}}{{4\pi \cdot (0.1^2 + 0^2)^2}} \cdot \hat{z} \]

Учитывая, что \( \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{Тл} \cdot \text{м}/\text{А} \), получим:

\[ B = \frac{{(4\pi \times 10^{-7}) \cdot (4 \cdot 0.1 + 2 \cdot 0.1)}}{{4\pi \cdot (0.1^2 + 0^2)^2}} \cdot \hat{z} = \frac{{2 \times 10^{-6}}}{{0.1^2}} \cdot \hat{z} \]

Итак, индукция магнитного поля в точке \( P \) от витков равна \( 2 \times 10^{-6} \, \text{Тл} \) в положительном направлении оси \( z \).

Надеюсь, это подробное решение позволяет вам понять, как получить индукцию магнитного поля в данной задаче и построить график зависимости \( B \) от \( r \) для точек на оси. Я всегда готов помочь!