Какова индукция магнитного поля в центре кругового проводника, если ток в прямом проводнике равен 15,7 А

Для решения этой задачи будем использовать закон Био-Савара-Лапласа, который гласит, что индукция магнитного поля от прямого проводника в точке, находящейся на расстоянии R от проводника, определяется следующей формулой:

\[d\vec{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{I \cdot d\vec{l} \times \vec{r}}}{{r^3}}\]

где:
\(\mu_0\) - магнитная постоянная (\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, Тл \cdot м/А\)),
\(I\) - ток в прямом проводнике (\(I = 15,7 \, А\)),
\(d\vec{l}\) - элементарный участок прямого проводника,
\(\vec{r}\) - радиус-вектор от элементарного участка прямого проводника до точки, в которой ищем индукцию магнитного поля,
\(r\) - расстояние от элементарного участка прямого проводника до точки, в которой ищем индукцию магнитного поля.

В нашем случае, когда прямой проводник проходит перпендикулярно плоскости кольца через его центр, можно заметить, что вектор \(\vec{r}\) будет направлен вертикально вверх, а элементарный участок прямого проводника, также проходящий через центр кольцевого проводника, будет параллелен этому вектору.

Таким образом, мы можем упростить формулу для нашего случая:

\[d\vec{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{I \cdot dl}}{{r^2}} \cdot \sin(\theta)\]

где:
\(\theta\) - угол между вектором \(\vec{r}\) и элементарным участком прямого проводника.

Так как элементарный участок прямого проводника проходит через центр кольца, то он будет параллелен вектору \(\vec{r}\), следовательно, \(\sin(\theta) = 1\).

Теперь найдем индукцию магнитного поля в центре кольцевого проводника, интегрируя выражение \(d\vec{B}\) по всей длине прямого проводника:

\[\vec{B} = \int d\vec{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{I}}{{r^2}} \int dl\]

Так как прямой проводник проходит через центр кольца, его длина равна длине окружности кольца, \(2\pi R\), где \(R\) - радиус кольцевого проводника.

Теперь окончательно выразим индукцию магнитного поля в центре кольцевого проводника:

\[\vec{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{I}}{{r^2}} \cdot 2\pi R = \frac{{\mu_0 \cdot I \cdot R}}{{2 \cdot r^2}}\]

Подставляя числовые значения, получаем:

\[\vec{B} = \frac{{4\pi \times 10^{-7} \, Тл \cdot м/А \cdot 15,7 \, А \cdot 0,1 \, м}}{{2 \cdot (0 \, м)^2}}\]

Окончательный ответ:

\[\vec{B} = 3,14 \times 10^{-7} \, Тл\]

Таким образом, индукция магнитного поля в центре кругового проводника равна \(3,14 \times 10^{-7} \, Тл\).