Какова градусная мера двугранного угла SABC, если из вершины АВС равностороннего треугольника, сторона которого равна

Для решения этой задачи обратимся к свойствам равностороннего треугольника и свойствам перпендикуляра.

Дано, что треугольник АВС - равносторонний, а сторона его равна 4. Пусть M - середина стороны AC. Так как треугольник равносторонний, то его медианы также являются высотами и биссектрисами, и точка M - начало перпендикуляра, восстановленного из вершины C.

По свойству равностороннего треугольника, каждый его угол равен 60 градусам. Таким образом, мы знаем, что угол BAC равен 60 градусам.

Также, по свойству перпендикуляра, угол с которым перпендикуляр пересекает сторону треугольника является прямым углом. То есть, угол SCA равен 90 градусам.

Теперь нам нужно найти угол SAB. Для этого рассмотрим треугольник SAB.

У нас есть сторона AB длиной 4 и известно, что АС - высота. По свойству равнобедренного треугольника, высота делит основание на две равные части. То есть, MC = MA = 2.

Теперь, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника SCA, мы можем найти длину стороны SA:

\[SA = \sqrt{SC^2 - CA^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\]

Теперь, рассмотрим треугольник SAM. У нас есть известная сторона SM длиной 2 и сторона SA длиной \(2\sqrt{3}\). Для нахождения угла SAB воспользуемся теоремой косинусов:

\[\cos(\angle SAB) = \frac{SM^2 + AM^2 - SA^2}{2 \cdot SM \cdot AM}\]
\[\cos(\angle SAB) = \frac{2^2 + 2^2 - (2\sqrt{3})^2}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{8 - 12}{8} = -\frac{1}{2} \]

Теперь найдем угол SAB, взяв обратный косинус от полученного значения:

\[\angle SAB = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\]

Таким образом, градусная мера двугранного угла SABC равна:

\[\angle SABC = 60 + 90 + \arccos\left(-\frac{1}{2}\right)\]

Подставляя это в калькулятор, получаем около \(120,96\) градусов.

Таким образом, градусная мера двугранного угла SABC равна примерно \(120,96\) градусов.