Какова функция средней угловой скорости ω в зависимости от времени t для твёрдого тела, которое вращается вокруг

Для начала, нам дано выражение для углового ускорения ф твёрдого тела в зависимости от времени t: ф = 3–t+0,1t3 (рад).

Чтобы найти функцию средней угловой скорости ω в зависимости от времени t, мы должны производную функции углового ускорения взять по времени.

\[\omega = \frac{d\varphi}{dt}\]

Давайте продифференцируем данную функцию углового ускорения по времени, чтобы найти функцию средней угловой скорости:

\[\omega = \frac{d}{dt} (3 - t + 0,1t^3)\]

Для дифференцирования функций мы будем использовать правила дифференцирования.

1. Дифференциал постоянного слагаемого равен нулю, поэтому \( \frac{d}{dt} (3) = 0 \).

2. Для вычитания константы из терма дифференцирование производится почленно, поэтому \( \frac{d}{dt} (-t) = -1 \).

3. Для дифференцирования терма вида \( t^n \), где \( n \) является постоянным коэффициентом, мы применяем правило степенной функции. Для \( t^3 \), применяя правило, получаем \( \frac{d}{dt} (0.1t^3) = 0.3t^2 \).

Теперь можем вычислить функцию средней угловой скорости:

\[\omega = \frac{d}{dt} (3 - t + 0,1t^3) = 0 - 1 + 0.3t^2 = 0.3t^2 - 1.\]

Таким образом, мы получаем функцию средней угловой скорости: \(\omega = 0.3t^2 - 1\).

Теперь давайте найдем среднее значение углового ускорения в интервале времени от 0 до момента остановки.

Среднее значение углового ускорения в данном интервале можно найти, вычислив интеграл функции углового ускорения и разделив его на промежуток времени:

\[\text{Усреднённое угловое ускорение} = \frac{1}{t_2-t_1} \int_{t_1}^{t_2} (3 - t + 0.1t^3) dt.\]

В данном случае \(t_1 = 0\) и \(t_2\) - это момент остановки.

Теперь рассчитаем этот интеграл:

\[\frac{1}{t_2-t_1} \int_{0}^{t_2} (3 - t + 0.1t^3) dt = \frac{1}{t_2} \left[ 3t - \frac{t^2}{2} + \frac{0.1t^4}{4} \right]_{0}^{t_2}.\]

Выполняя необходимые арифметические операции, получаем:

\[\frac{1}{t_2-t_1} \int_{0}^{t_2} (3 - t + 0.1t^3) dt = \frac{1}{t_2} \left[ 3t_2 - \frac{t_2^2}{2} + \frac{0.1t_2^4}{4} \right].\]

Таким образом, среднее значение углового ускорения в интервале времени от 0 до момента остановки равно \(0.55\) рад/с².

Наконец, чтобы найти угловое ускорение в момент остановки, мы должны подставить \(t = t_2\) в формулу углового ускорения:

\[\text{Угловое ускорение в момент остановки} = 3 - t_2 + 0.1t_2^3.\]

Теперь у нас нет информации о значении \(t_2\), поэтому мы не можем вычислить точное значение углового ускорения в момент остановки. Однако, если вы знаете значение \(t_2\), вы можете подставить его в формулу для получения точного значения углового ускорения.

Так что мы рассмотрели функцию средней угловой скорости в зависимости от времени t, посчитали среднее значение углового ускорения в интервале времени от 0 до остановки и показали формулу для углового ускорения в момент остановки.