Какова функция плотности вероятности распределения случайной величины, представляющей вес случайно взятого человека

Для начала рассмотрим задачу на нахождение функции плотности вероятности (ПВ) распределения случайной величины, представляющей вес случайно взятого человека из категории с средним весом 60 кг и среднеквадратическим отклонением 3 кг.

Функция плотности вероятности (ПВ) нормального распределения задается формулой:

\[
f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}
\]

где \(x\) - значение случайной величины, \(\mu\) - среднее значение, \(\sigma\) - стандартное отклонение.

В данной задаче, среднее значение \(\mu\) равно 60 кг, стандартное отклонение \(\sigma\) равно 3 кг. Подставив эти значения в формулу, получим:

\[
f(x) = \frac{1}{3\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-60}{3}\right)^2}
\]

Теперь рассмотрим вторую часть задачи - вероятность того, что вес случайно взятого человека будет отличаться от среднего веса не более чем на 5 кг.

Для решения этой задачи, нам необходимо вычислить интеграл функции плотности вероятности по интервалу от \(\mu - 5\) до \(\mu + 5\). Это позволит нам найти вероятность попадания случайного веса в данный интервал.

\[
P(\mu - 5 \leqslant x \leqslant \mu + 5) = \int_{\mu - 5}^{\mu + 5} f(x) dx
\]

Подставив функцию плотности вероятности, получим:

\[
P(55 \leqslant x \leqslant 65) = \int_{55}^{65} \frac{1}{3\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-60}{3}\right)^2} dx
\]

Этот интеграл можно решить численно или с помощью табличных значений функции ошибок. Чтобы упростить задачу, воспользуемся таблицей значений функции ошибок.

Значение функции ошибок для аргумента \(z\) обозначим как \(Ф(z)\). Для данной задачи, \(z_1 = \frac{55 - 60}{3} = -\frac{5}{3}\) и \(z_2 = \frac{65-60}{3} = \frac{5}{3}\).

Тогда искомая вероятность может быть найдена как разность между значениями функции ошибок в точках \(z_2\) и \(z_1\):

\[
P(55 \leqslant x \leqslant 65) = Ф\left(\frac{5}{3}\right) - Ф\left(-\frac{5}{3}\right)
\]

Остается только найти значения функции ошибок для аргументов \(\frac{5}{3}\) и \(-\frac{5}{3}\) из таблицы или с помощью калькулятора.

Надеюсь, данное решение задачи помогло Вам понять, как найти функцию плотности вероятности и вероятность для данного случая. Если у Вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, задавайте!