Какова энтропия при извлечении двух шаров из урны, где находятся два белых и один черный шар? Спасибо!

Конечно, я могу помочь с этой задачей. Для решения данной задачи мы будем использовать понятие энтропии, которое является мерой неопределенности системы.

В данной урне имеются два белых и один черный шар. Мы извлекаем два шара из урны без возвращения. Задача заключается в определении энтропии этой системы после первого и после второго шара.

Для начала, определим вероятности извлечения каждого шара. Вероятность извлечения белого шара на первом шаге будет равна количеству белых шаров (2) к общему количеству шаров (3), то есть \(P(W_1) = \frac{2}{3}\). Аналогично, вероятность извлечения черного шара на первом шаге будет равна количеству черных шаров (1) к общему количеству шаров (3), то есть \(P(B_1) = \frac{1}{3}\).

После извлечения первого шара, состояние урны изменяется, теперь в урне остался один белый и один черный шар. Вероятность извлечения белого шара на втором шаге будет равна количеству белых шаров (1) к общему количеству шаров (2), то есть \(P(W_2) = \frac{1}{2}\). Аналогично, вероятность извлечения черного шара на втором шаге будет равна количеству черных шаров (1) к общему количеству шаров (2), то есть \(P(B_2) = \frac{1}{2}\).

Теперь мы можем рассчитать энтропию системы после первого шага, используя формулу энтропии:

\[H(X) = -\sum_{i=1}^n P(x_i) \log P(x_i)\]

где \(X\) - случайная величина, \(P(x_i)\) - вероятность наступления события \(x_i\), а \(\log\) - логарифм по основанию 2.

В нашем случае, случайная величина \(X\) может принимать значения \(W\) (белый шар) или \(B\) (черный шар).

Энтропия системы после первого шага вычисляется следующим образом:

\[H(S_1) = -P(W_1) \log P(W_1) - P(B_1) \log P(B_1)\]

Подставим значения вероятностей:

\[H(S_1) = -\frac{2}{3} \log \frac{2}{3} -\frac{1}{3} \log \frac{1}{3}\]

Теперь рассчитаем энтропию системы после второго шага:

\[H(S_2) = -P(W_2) \log P(W_2) - P(B_2) \log P(B_2)\]

Подставим значения вероятностей:

\[H(S_2) = -\frac{1}{2} \log \frac{1}{2} -\frac{1}{2} \log \frac{1}{2}\]

Напомню, что энтропия - это мера неопределенности системы. Чем выше энтропия, тем больше неопределенность.

Ответ: энтропия системы после первого шага равна \(H(S_1) \approx 0.9183\), а энтропия системы после второго шага равна \(H(S_2) = 1\).

Таким образом, после первого шага неопределенность в системе уменьшается, а после второго шага система оказывается полностью определенной, так как остается только один шар.