Какова энергия, испускаемая черным телом плавильной печи через смотровое окошко, площадью 8 см^2, в течение 5 минут

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать законы излучения А.Планка и Стефана-Больцмана. Давайте посмотрим на каждый шаг по отдельности:

1. Начнем с закона излучения А. Планка. Он устанавливает, что энергия \(E\) излучения, испускаемого черным телом, пропорциональна частоте излучения \(v\) и обратно пропорциональна длине волны излучения \(\lambda\). Формула для закона А. Планка выглядит следующим образом:

\[E = C_1 \cdot \lambda^{-5} \cdot (e^{C_2/\lambda T} - 1)^{-1}\]

Где \(C_1\) и \(C_2\) - постоянные Планка, \(T\) - абсолютная температура черного тела.

2. Теперь, чтобы определить общую энергию, испускаемую черным телом, нам нужно проинтегрировать выражение А. Планка по всей спектральной области:

\[E_{total} = \int_0^\infty E \cdot d\lambda \]

3. Но для удобства интегрирования, мы можем использовать замену переменных, чтобы перейти от интегрирования по \(\lambda\) к интегрированию по \(v\). Мы знаем, что для электромагнитного излучения справедлива следующая связь:

\[ v = \frac{c}{\lambda} \]

Где \(c\) - скорость света.

4. Произведем замену переменных и изменение пределов интегрирования:

\[E_{total} = \int_0^\infty E \cdot d\lambda = \int_0^\infty E \cdot \frac{d\lambda}{dv} \cdot dv = \int_0^\infty E \cdot \left(\frac{d\lambda}{dv}\right)_{\lambda(v)} \cdot dv\]

5. Чтобы найти \(\frac{d\lambda}{dv}\), мы можем использовать производную от обратной функции \(v(\lambda)\), что даст нам:

\[\left(\frac{d\lambda}{dv}\right)_{\lambda(v)} = \frac{1}{\left(\frac{dv}{d\lambda}\right)_{v(\lambda)}} = \frac{-\lambda^2}{c}\]

6. Подставим это значение обратно в наше выражение:

\[E_{total} = \int_0^\infty E \cdot \left(\frac{d\lambda}{dv}\right)_{\lambda(v)} \cdot dv = \int_0^\infty E \cdot \frac{-\lambda^2}{c} \cdot dv\]

7. Теперь у нас остается интеграл от \(v = 0\) до \(v = \infty\). Однако, поскольку черное тело является идеальным излучателем, оно излучает на всех частотах, поэтому верхний предел интегрирования можно заменить на \(v = \frac{c}{\lambda_{min}}\), где \(\lambda_{min}\) - длина волны, соответствующая максимальной частоте.

8. Теперь мы готовы интегрировать:

\[E_{total} = \int_0^{c/\lambda_{min}} E \cdot \frac{-\lambda^2}{c} \cdot dv\]

9. Подставим формулу А. Планка в этот интеграл:

\[E_{total} = \int_0^{c/\lambda_{min}} C_1 \cdot \lambda^{-5} \cdot (e^{C_2/\lambda T} - 1)^{-1} \cdot \frac{-\lambda^2}{c} \cdot dv\]

10. Проведем вычисления интеграла и получим окончательный ответ в виде выражения или числа.

К сожалению, точное аналитическое решение данной задачи миновало рамки моей возможности, однако вы можете использовать численные методы, чтобы получить приближенное значение энергии, испускаемой черным телом через смотровое окошко. На практике, для решения подобных задач используются численные методы интегрирования.