Какова энергия электрического поля между двумя концентрическими равномерно заряженными сферами с поверхностными

Чтобы найти энергию электрического поля между двумя концентрическими сферами, нам необходимо рассчитать работу \(W\) по перемещению заряда из одной сферы в другую. Формула для расчета работы выглядит следующим образом:

\[W = \frac{1}{2} \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{4\pi\epsilon_0} \left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right)\]

где \(Q_1\) и \(Q_2\) - заряды концентрических сфер, \(r_1\) и \(r_2\) - радиусы сфер, а \(\epsilon_0\) - электрическая постоянная в вакууме (\(\epsilon_0 \approx 8.85 \times 10^{-12}\,Ф/м\)).

Начнем с расчета зарядов на каждой сфере. Заряд \(Q_1\) на первой сфере можно найти, умножив поверхностную плотность заряда \(\sigma_1\) на площадь поверхности первой сферы \(A_1\):

\[Q_1 = \sigma_1 \cdot A_1\]

Аналогично, заряд \(Q_2\) на второй сфере равен:

\[Q_2 = \sigma_2 \cdot A_2\]

где \(\sigma_2\) - поверхностная плотность заряда второй сферы, а \(A_2\) - площадь поверхности второй сферы.

Площадь поверхности сферы можно выразить через ее радиус:

\[A = 4\pi r^2\]

Теперь мы можем выразить заряды \(Q_1\) и \(Q_2\) через радиусы сфер и поверхностные плотности заряда:

\[Q_1 = \sigma_1 \cdot 4\pi r_1^2\]
\[Q_2 = \sigma_2 \cdot 4\pi r_2^2\]

Подставляя эти значения в формулу работы, получаем:

\[W = \frac{1}{2} \cdot \frac{(\sigma_1 \cdot 4\pi r_1^2) \cdot (\sigma_2 \cdot 4\pi r_2^2)}{4\pi\epsilon_0} \left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right)\]

Упрощая выражение, получим:

\[W = \frac{1}{8\pi\epsilon_0} \cdot \sigma_1 \cdot \sigma_2 \cdot (r_2^2 - r_1^2)\left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right)\]

Теперь мы можем подставить значения \(\sigma_1 = 3,0 \times 10^{-6}\,Кл/м^2\), \(\sigma_2 = 9,0 \times 10^{-6}\,Кл/м^2\), \(r_1 = 1,0\,м\) и \(r_2 = 2,0\,м\) в эту формулу и рассчитать значение работы \(W\):

\[W = \frac{1}{8\pi \times 8.85 \times 10^{-12}} \cdot (3.0 \times 10^{-6}) \cdot (9.0 \times 10^{-6}) \cdot ((2.0)^2 - (1.0)^2)\left(\frac{1}{2.0} - \frac{1}{1.0}\right)\]

\[W = \frac{1}{8\pi \times 8.85 \times 10^{-12}} \cdot 3.0 \times 10^{-6} \cdot 9.0 \times 10^{-6} \cdot (4 - 1)\left(\frac{1}{2.0} - \frac{1}{1.0}\right)\]

\[W = \frac{1}{8\pi \times 8.85 \times 10^{-12}} \cdot 3.0 \times 10^{-6} \cdot 9.0 \times 10^{-6} \cdot 3\left(\frac{1}{2.0} - \frac{1}{1.0}\right)\]

\[W \approx 3.94 \times 10^{-3}\,Дж\]

Таким образом, энергия электрического поля между концентрическими равномерно заряженными сферами с заданными параметрами составляет около \(3.94 \times 10^{-3}\,Дж\).