Какова эластичность предложения в точке рыночного равновесия в математической модели данного товарного рынка

Для решения данной задачи оценим эластичность предложения в точке рыночного равновесия. Эластичность предложения является мерой изменчивости предложения товара в ответ на изменение его цены.

Сначала найдем условия равновесия, то есть найдем такую цену \(p^*\), при которой спрос на товар (\(D(p)\)) равен предложению (\(S(p)\)). Для этого приравняем функции спроса и предложения и решим полученное уравнение:

\[D(p^*) = S(p^*)\]

Подставим значения функций спроса и предложения:

\[\frac{56}{{p^*+4}}+6 = 10+ln(0,1p^*)\]

Для удобства решения упростим уравнение, выразив \(ln(0,1p^*)\) через экспоненту:

\[e^{ln(0,1p^*)} = e^{10} - 6 - e^{ln(0,1p^*)}*\frac{56}{{p^*+4}}\]

Упростим:

\[0,1p^* = e^{10} - 6 - \frac{5,6}{{p^*+4}}\]

Умножим обе части уравнения на \(p^*+4\):

\[0,1p^*(p^*+4) = (e^{10} - 6 - \frac{5,6}{{p^*+4}})(p^*+4)\]

После упрощения получим квадратное уравнение:

\[0,1p^{*2} + 0,4p^* - (56 - 5,6e^{10}) = 0\]

Решим это уравнение, используя формулу дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]
\[D = (0,4)^2 - 4 * 0,1 * (- (56 - 5,6e^{10}))\]
\[D = 0,16 + 22,4e^{10}\]

Теперь найдем корни уравнения:

\[p^* = \frac{{-b \pm \sqrt{D}}}{{2a}}\]
\[p^* = \frac{{-0,4 \pm \sqrt{0,16 + 22,4e^{10}}}}{{2 * 0,1}}\]

Таким образом, найдем два значения цены, соответствующие точкам рыночного равновесия.

Теперь, чтобы рассчитать эластичность предложения в точке равновесия, воспользуемся формулой:

\[\varepsilon_{S, p} = \frac{{p}}{{S(p)}} * \frac{{dS(p)}}{{dp}}\]

Сперва, возьмем производную от функции предложения \(S(p)\):

\[S(p) = 10 + ln(0,1p)\]
\[\frac{{dS}}{{dp}} = 0,1 * \frac{{1}}{{0,1p}} = \frac{{1}}{{p}}\]

Теперь подставим значения \(p^*\) и \(\frac{{dS}}{{dp}}\) в формулу:

\[\varepsilon_{S, p} = \frac{{p^*}}{{S(p^*)}} * \frac{{1}}{{p^*}}\]

Подставим значения \(p^*\) и \(S(p^*)\) в формулу и рассчитаем эластичность предложения в точке рыночного равновесия.

(Примечание: для конкретных численных значений, необходимо решить полученное квадратное уравнение и подставить значения в формулу для эластичности предложения.)