Какова должна быть наименьшая угловая скорость вращения диска, при которой тело оторвется от него? Учтите, что на краю

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать баланс силы, чтобы определить минимальную угловую скорость вращения диска, при которой тело оторвется от него.

Первым шагом будет определение сил, действующих на тело на краю диска. Здесь у нас есть две силы — сила натяжения нити \(T\) и сила тяжести \(mg\), где \(m\) - масса тела, а \(g\) - ускорение свободного падения.

Поскольку тело находится в состоянии равновесия и не движется вертикально, сумма вертикальных компонентов сил равна нулю. Это означает, что сила натяжения нити должна быть равной силе тяжести:

\[T = mg\]

Затем мы можем использовать горизонтальную составляющую силы натяжения, чтобы определить минимальную угловую скорость вращения диска. Горизонтальная составляющая силы натяжения создает центростремительное ускорение, которое является причиной вращения тела вместе с диском. Мы можем записать это центростремительное ускорение:

\[a_c = \frac{{v^2}}{{r}}\]

где \(a_c\) - центростремительное ускорение, \(v\) - угловая скорость вращения диска, \(r\) - радиус диска.

Теперь мы можем приступить к расчету. Известно, что нить натянута под углом \(a = 60°\) с осью диска, что образует прямоугольный треугольник с высотой \(h\) и основанием \(l = 50\) см. Мы можем использовать тригонометрические соотношения для выражения \(h\):

\[h = l \cdot \sin(a)\]

Значение \(h\) представляет собой радиус диска \(r\), поскольку тело находится на краю диска. Теперь мы можем записать уравнение для центростремительного ускорения:

\[a_c = \frac{{v^2}}{{r}}\]

В данной задаче нам необходимо найти минимальную угловую скорость вращения диска, при которой тело оторвется от него. Это происходит в тот момент, когда нить перестает оказывать достаточную силу, чтобы уравновесить силу тяжести, то есть когда \(T < mg\). Мы можем выразить \(T\) через центростремительное ускорение:

\[T = m \cdot a_c\]

Подставляя это выражение в уравнение \(T = mg\), получим:

\[m \cdot a_c = mg\]

Отсюда можем выразить угловую скорость:

\[v^2 = r \cdot g\]

\[v = \sqrt{r \cdot g}\]

Подставляя значение \(r = h = l \cdot \sin(a)\), \(l = 50\) см, \(a = 60°\) и \(g = 10 \, \text{м/с}^2\), получим:

\[v = \sqrt{l \cdot \sin(a) \cdot g}\]

\[v = \sqrt{0.5 \cdot \sin(60°) \cdot 10}\]

\[v \approx 5.775 \, \text{рад/с}\]

Таким образом, наименьшая угловая скорость вращения диска должна быть округлена до трех значащих цифр по правилам округления и равна \(5.775 \, \text{рад/с}\).