Какова должна быть наименьшая площадь плоского заднего зеркала, чтобы водитель имел лучший вид на заднее стекло

Для решения этой задачи нам необходимо найти минимальную площадь плоского заднего зеркала, чтобы водитель имел наилучший вид на заднее стекло автомобиля.

Для начала определим, какая область заднего окна водителя должна быть видима в зеркале. Расстояние между водителем и задним стеклом составляет 2 метра, а между водителем и зеркалом - 0,5 метра. Исходя из этого, видимая область должна быть высотой 2 метра и шириной, равной ширине окна заднего стекла.

Теперь рассмотрим треугольник, составленный из водителя, зеркала и верхнего угла видимой области окна заднего стекла. Этот треугольник должен быть прямоугольным.

Пусть \(h\) - это высота видимой области заднего окна, и \(w\) - ширина заднего окна.

Исходя из условия задачи, получаем следующую систему уравнений для нахождения \(h\) и \(w\):

\[
\begin{align*}
h^2 + \left(\frac{w}{2}\right)^2 &= 2^2 \\
h &= \frac{w}{2} + 0.5
\end{align*}
\]

Решим эту систему уравнений.

Используя первое уравнение, получаем:

\[
h^2 + \frac{w^2}{4} = 4
\]

Умножим обе части уравнения на 4:

\[
4h^2 + w^2 = 16
\]

Подставим второе уравнение вместо \(h\):

\[
4\left(\frac{w}{2} + 0.5\right)^2 + w^2 = 16
\]

Упростим это уравнение:

\[
\begin{align*}
4\left(\frac{w^2}{4} + w + 0.25\right) + w^2 &= 16 \\
w^2 + 4w + 1 + w^2 &= 16 \\
2w^2 + 4w - 15 &= 0
\end{align*}
\]

Решим квадратное уравнение:

\[
w = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15)}}{2 \cdot 2}
\]

\[
w = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 120}}{4}
\]

\[
w = \frac{-4 \pm \sqrt{136}}{4}
\]

\[
w = \frac{-4 \pm 2\sqrt{34}}{4}
\]

Упростим выражение:

\[
w = \frac{-1 \pm \sqrt{34}}{2}
\]

Поскольку ширина окна не может быть отрицательной, выберем положительное значение:

\[
w = \frac{-1 + \sqrt{34}}{2}
\]

Найдем соответствующее значение для \(h\) с использованием второго уравнения системы:

\[
h = \frac{w}{2} + 0.5 = \frac{\frac{-1 + \sqrt{34}}{2}}{2} + 0.5 = \frac{-1 + \sqrt{34}}{4} + \frac{2}{2} = \frac{-1 + \sqrt{34} + 4}{4} = \frac{3 + \sqrt{34}}{4}
\]

Таким образом, минимальная площадь плоского заднего зеркала составит:

\[
S = h \cdot w = \left(\frac{3 + \sqrt{34}}{4}\right) \cdot \left(\frac{-1 + \sqrt{34}}{2}\right)
\]

\[
S = \frac{3 + \sqrt{34}}{4} \cdot \frac{-1 + \sqrt{34}}{2}
\]

\[
S = \frac{-3 + 3\sqrt{34} + \sqrt{34} - (\sqrt{34})^2}{8}
\]

\[
S = \frac{-3 + 3\sqrt{34} + \sqrt{34} - 34}{8}
\]

\[
S = \frac{4\sqrt{34} -31}{8}
\]

Получили минимальную площадь плоского заднего зеркала, чтобы водитель имел лучший вид на заднее стекло автомобиля.