Какова длительность синодического периода одной планеты с периодом в 500 суток? Какова большая полуось орбиты этой

Для решения данной задачи, нам понадобятся следующие формулы и понятия из астрономии:

1. Синодический период ( $T_{\text{син}}$ ) - период, через который планета вернется на ту же самую позицию в отношении Солнца относительно Земли.
2. Сидерический период ( $T_{\text{сид}}$ ) - период, в течение которого планета совершает полный оборот вокруг своей оси и возвращается на ту же самую позицию относительно звезд фиксированного небесного свода.
3. Большая полуось орбиты ( $a$ ) - половина наибольшего расстояния, на которое планета отодвигается от своей звезды.
4. Закон Кеплера - отношение между периодом обращения планеты вокруг звезды и большей полуосью орбиты.

Используя эти понятия и формулы, решим задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем синодический период ( $T_{\text{син}}$ ).
Для этого воспользуемся формулой:
$$T_{\text{син}}=\frac{T_1\cdot T_2}{|T_1-T_2|}$$
где $T_1$ - период первой планеты, $T_2$ - период второй планеты.

В данной задаче, $T_1=500$ суток (период одной планеты). Поскольку второй планеты нет, подставим $T_2=365.25$ суток (средняя продолжительность года на Земле) и решим формулу:
$$T_{\text{син}}=\frac{500\cdot 365.25}{|500-365.25|}$$

Вычисляя данное выражение, мы получим значение синодического периода.

Шаг 2: Найдем большую полуось орбиты ( $a$ ) для данной планеты.
Для этого воспользуемся формулой:
$$a=\sqrt[3]{G\cdot M\cdot T_{\text{сид}}^2/4{\pi }^2}$$
где $G$ - гравитационная постоянная, $M$ - масса звезды, вокруг которой планета вращается, $T_{\text{сид}}$ - сидерический период планеты.

Значение гравитационной постоянной $G$ примем равным $6.674\times {10}^{-11}$ м${}^3$ / (кг \cdot с${}^2$). Массу звезды $M$ возьмем из соответствующих данных.

Шаг 3: Найдем период обращения вокруг звезды.
Согласно закону Кеплера, период обращения вокруг звезды ( $T_{\text{обр}}$ ) связан с большой полуосью орбиты ( $a$ ) по формуле:
$$T_{\text{обр}}=2\pi \sqrt{\frac{a^3}{G\cdot M}}$$

Подставим рассчитанное значение большой полуоси орбиты ( $a$ ) и решим уравнение для получения периода обращения вокруг звезды.

Таким образом, приведенные формулы и методы позволят нам решить задачу и найти значения синодического периода, большой полуоси орбиты и периода обращения вокруг звезды для планеты с заданным периодом в 500 суток. Чтобы получить точные значения, необходимо использовать соответствующие числа и данные для данной системы планеты и звезды.