Какова длина высоты, проведенной к более короткой стороне, в треугольнике, в котором известны длины двух сторон

Давайте начнем с обозначений. Пусть у нас есть треугольник ABC, где сторона AB является более короткой, сторона AC - более длинной, а сторона BC - основанием высоты, проведенной к стороне AC.

Мы знаем, что длина стороны AB равна 18 см, стороны AC равна 20 см, а высота, проведенная к стороне AC, равна \(h\).

Для нахождения длины высоты, проведенной к более короткой стороне, нам понадобится использовать подобие треугольников. Мы можем заметить, что треугольник ABC и треугольник ABD (где D - точка пересечения высоты с основанием BC) подобны.

По свойству подобных треугольников отношение длин соответствующих сторон будет одинаковым. То есть:

\[\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{BC}}\]

Мы знаем, что сторона AB равна 18 см, сторона AC равна 20 см, поэтому мы можем подставить эти значения в уравнение:

\[\frac{{AD}}{{18}} = \frac{{20}}{{BC}}\]

Теперь, когда у нас есть это уравнение, мы можем найти высоту AD, проведенную к стороне AB.

Для этого, нужно переставить уравнение:

\[AD = \frac{{20}}{{BC}} \cdot 18\]

Осталось найти длину основания BC. Для этого, обратимся к площади треугольника ABC.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле:

\[Площадь = \frac{{1}}{{2}} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle ACB)\]

Мы знаем длины сторон AC и AB, однако не знаем угла ACB.

Но мы можем получить значение угла ACB, используя теорему косинусов:

\[\cos(\angle ACB) = \frac{{AB^2 + AC^2 - BC^2}}{{2 \cdot AB \cdot AC}}\]

Подставим известные значения и решим уравнение относительно \(\cos(\angle ACB)\):

\[\cos(\angle ACB) = \frac{{18^2 + 20^2 - BC^2}}{{2 \cdot 18 \cdot 20}}\]

Теперь у нас есть значение \(\cos(\angle ACB)\), и мы можем найти сам угол ACB, взяв обратный косинус от этого значения:

\[\angle ACB = \arccos\left(\frac{{18^2 + 20^2 - BC^2}}{{2 \cdot 18 \cdot 20}}\right)\]

Теперь нам известны все значения, и мы можем найти длину основания BC. Для этого, переставим уравнение для площади:

\[BC = \frac{{2 \cdot \text{{Площадь}}}}{{AC \cdot \sin(\angle ACB)}}\]

Теперь, когда у нас есть длина основания BC, мы можем подставить это значение в ранее полученное уравнение для AD:

\[AD = \frac{{20}}{{BC}} \cdot 18\]

После подстановки, мы получим длину высоты AD в треугольнике.