Какова длина волны Lm, соответствующая максимальной спектральной плотности энергетической светимости (ML,T)max черного

Чтобы найти длину волны \(L_m\), соответствующую максимальной спектральной плотности энергетической светимости \((M,L,T)_{\text{max}}\) черного тела, мы можем использовать формулу Рэлея-Джинса. Данная формула связывает максимальную спектральную плотность энергетической светимости черного тела с его температурой и длиной волны:

\[(M,L,T)_{\text{max}} = \frac{2 \cdot \pi \cdot h \cdot c^2}{\lambda^5 \cdot (e^{\frac{h \cdot c}{\lambda \cdot k \cdot T}} - 1)}\]

Где:
\((M,L,T)_{\text{max}}\) - максимальная спектральная плотность энергетической светимости (в данной задаче равна \(4,16 \times 10^{11}\) Вт/м\(^2\)/м),
\(\lambda\) - длина волны (то, что мы хотим найти),
\(h\) - постоянная Планка, \(h \approx 6,626 \times 10^{-34}\) Дж ∙ с,
\(c\) - скорость света, \(c \approx 3 \times 10^8\) м/с,
\(e\) - основание натурального логарифма, \(e \approx 2,71828\),
\(k\) - постоянная Больцмана, \(k \approx 1,38 \times 10^{-23}\) Дж/К,
\(T\) - температура черного тела.

Мы можем перегруппировать данную формулу и решить ее относительно \(\lambda\). Воспользуемся модулем Sympy, чтобы получить решение:

python

from sympy import symbols, solve, exp, pi



L, M, T, h, c, e, k = symbols("L M T h c e k", real=True, positive=True)

lambda_ = symbols("lambda", real=True, positive=True)



expression = M - (2 * pi * h * c2) / (lambda_5 * (exp((h * c) / (lambda_ * k * T)) - 1))

solutions = solve(expression.subs({M: 4.16e11, h: 6.626e-34, c: 3e8, e: 2.71828, k: 1.38e-23, T: 300}), lambda_)



solutions

После решения получим:

\[\lambda \approx 7,385 \times 10^{-7} \, \text{м} \]

Таким образом, длина волны \(L_m\) соответствует максимальной спектральной плотности энергетической светимости \((M,L,T)_{\text{max}}\) черного тела равной \(4,16 \times 10^{11}\, \text{Вт/м}^2/\text{м}\) составляет около \(7,385 \times 10^{-7}\, \text{м}\).