Какова длина волны, если уравнение колебаний источника волн записывается как x = 2sin200πt и модуль скорости

Для того чтобы решить данную задачу, нам нужно использовать формулу для определения длины волны. Формула связывает скорость распространения волны (\(v\)), частоту волны (\(f\)) и длину волны (\(\lambda\)). Формула имеет вид:

\[v = \lambda \cdot f\]

Частота волны (\(f\)) определяется как обратная величина периода колебаний (\(T\)). То есть:

\[f = \frac{1}{T}\]

Период колебаний (\(T\)) можно найти, зная исходное уравнение колебаний источника волн. В данном случае, уравнение задано как \(x = 2\sin(200\pi t)\), где \(x\) - амплитуда колебаний, \(\sin\) - функция синуса, \(200\pi\) - круговая частота.

Чтобы найти период колебаний (\(T\)), мы должны найти момент времени первого положительного значениия синуса после начального положения, а затем найти момент времени следующего положительного значения синуса после этого. Разница между этими моментами времени и будет периодом колебаний (\(T\)).

Теперь давайте решим эту задачу.

Мы уже знаем, что модуль скорости распространения колебаний в среде (\(v\)) равен 400 м/с.
Из формулы \(v = \lambda \cdot f\) мы можем выразить частоту (\(f\)) как:

\[f = \frac{v}{\lambda}\]

Нам остается только найти длину волны (\(\lambda\)). Для этого мы должны найти период колебаний (\(T\)) и затем использовать формулу \(v = \lambda \cdot f\) для нахождения \(\lambda\).

В данном случае \(\lambda\) равна расстоянию между двумя положительными значениями синуса, а период колебаний (\(T\)) - это разница между этими моментами времени.

Чтобы найти период колебаний (\(T\)), нужно найти момент времени первого положительного значения синуса после начального положения, а затем найти момент времени следующего положительного значения синуса после этого.

Давайте найдем эти моменты времени, чтобы найти период колебаний (\(T\)).

Уравнение колебаний задано как \(x = 2\sin(200\pi t)\), где \(x\) - амплитуда колебаний, \(\sin\) - функция синуса, \(200\pi\) - круговая частота.

Найдем первое положительное значение синуса после начального положения (то есть, когда \(x\) равно \(2\)). Для этого мы должны найти такое значение времени (\(t\)), при котором \(\sin(200\pi t)\) будет равно \(1\).

Подставим \(1\) вместо \(\sin(200\pi t)\) в уравнение колебаний и решим его относительно \(t\):

\[2 = 2\sin(200\pi t)\]
\[1 = \sin(200\pi t)\]

Поскольку мы ищем только момент времени, мы можем игнорировать коэффициент \(200\pi\) перед \(t\) в этом случае. Таким образом, мы можем просто решить уравнение:

\[\sin(t) = 1\]

На второй колонке (или втором квадранте) графика синусоиды значения \(\sin(t)\) равны \(1\). Это происходит, когда \(t = \frac{\pi}{2}\) и \(t = \frac{3\pi}{2}\). Но нам нужно найти первое положительное значение синуса, следовательно, \(t = \frac{\pi}{2}\).

Теперь нам нужно найти момент времени следующего положительного значения синуса (когда \(x\) снова будет равно \(2\)). Мы знаем, что период колебаний (\(T\)) - это разница между этими моментами времени, поэтому нам нужно найти только разницу между ними. Чтобы найти это момент времени, мы можем добавить период колебаний (\(T\)) к первому моменту времени.

Таким образом, \(t_1 = \frac{\pi}{2}\) и \(T = t_2 - t_1\).

Для нахождения \(t_2\) мы можем использвать график функции синуса и найти первое положительное значение после \(t_1\). Из графика мы видим, что это происходит при \(t_2 = \frac{3\pi}{2}\).

Теперь мы можем найти период колебаний (\(T\)):

\[T = t_2 - t_1\]
\[T = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2}\]
\[T = \pi\]

Теперь, когда у нас есть период колебаний (\(T\)), мы можем вычислить частоту волны (\(f\)):

\[f = \frac{1}{T}\]
\[f = \frac{1}{\pi}\]

И, наконец, длина волны (\(\lambda\)) может быть найдена с помощью формулы \(v = \lambda \cdot f\) и известной скорости распространения колебаний (\(v\)):

\[\lambda = \frac{v}{f}\]
\[\lambda = \frac{400}{\frac{1}{\pi}}\]
\[\lambda = 400\pi\]

Таким образом, длина волны (\(\lambda\)) равна \(400\pi\).