Какова длина третьей стороны треугольника, если две стороны равны 10√3 и 20 см, а угол между ними составляет

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)\]

где \(c\) - длина третьей стороны треугольника, \(a\) и \(b\) - длины двух известных сторон треугольника, а \(\gamma\) - угол между этими сторонами.

В нашей задаче известны значения двух сторон треугольника: \(a = 10\sqrt{3}\) и \(b = 20\) см, а также угол \(\gamma = 30^\circ\).

Подставим известные значения в формулу и вычислим значение третьей стороны \(c\):

\[c^2 = (10\sqrt{3})^2 + 20^2 - 2 \cdot 10\sqrt{3} \cdot 20 \cdot \cos(30^\circ)\]
\[c^2 = 300 + 400 - 400 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]
\[c^2 = 700 - 200 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3}\]
\[c^2 = 700 - 200 \cdot \frac{3}{2}\]
\[c^2 = 700 - 300\]
\[c^2 = 400\]

Таким образом, получаем \(c = \sqrt{400} = 20\) см.

Ответ: длина третьей стороны треугольника равна 20 см.

Для вычисления площади треугольника воспользуемся формулой для площади треугольника по двум сторонам и углу между ними:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\gamma)\]

где \(S\) - площадь треугольника.

Подставим известные значения в формулу и вычислим площадь:

\[S = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{3} \cdot 20 \cdot \sin(30^\circ)\]
\[S = 100\sqrt{3} \cdot 20 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\]
\[S = 200\sqrt{3} \cdot \frac{1}{4}\]
\[S = 50\sqrt{3}\]

Ответ: площадь треугольника равна \(50\sqrt{3}\) единицы площади (например, квадратные сантиметры).