Какова длина струны, если при уменьшении ее на 10 см частота колебаний увеличивается в 1.5 раза?

Для решения данной задачи нам понадобятся основные формулы, связанные с колебаниями:

1. Частота колебаний (f) обратно пропорциональна длине струны (L) при постоянной скорости распространения волны (v):
\[f = \frac{v}{2L}\]
Где f - частота колебаний, v - скорость распространения волны, L - длина струны.

2. Коэффициент пропорциональности k между двумя величинами с обратной пропорциональностью:
\[k = \frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}\]
Где y1 и y2 - значения одной величины, x1 и x2 - соответствующие значения другой величины.

По условию задачи, если уменьшить длину струны на 10 см, частота колебаний увеличится в 1.5 раза.

Обозначим исходную длину струны как L1, а увеличенную частоту колебаний как f2.

Теперь можем составить следующую систему уравнений:

1. Уравнение, описывающее исходное состояние:
\[f_1 = \frac{v}{2L_1}\]

2. Уравнение, описывающее новое состояние:
\[f_2 = \frac{v}{2(L_1 - 10)}\]

Известно, что при уменьшении длины струны на 10 см (L_1 - 10), частота колебаний увеличивается в 1.5 раза:
\[f_2 = 1.5 \cdot f_1\]

Теперь нужно объединить все уравнения и найти длину струны L_1:

\[\frac{v}{2(L_1 - 10)} = 1.5 \cdot \frac{v}{2L_1}\]

Мы можем упростить это уравнение, сократив v и 2, и перейти к общей форме:

\[\frac{1}{L_1 - 10} = 1.5 \cdot \frac{1}{L_1}\]

Далее, чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим обе части уравнения на \(L_1 \cdot (L_1 - 10)\):

\[L_1 \cdot (L_1 - 10) = 1.5 \cdot (L_1 - 10)\]

Раскроем скобки:

\[L_1^2 - 10L_1 = 1.5L_1 - 15\]

Полученное квадратное уравнение можно привести к следующему виду:

\[L_1^2 - 11.5L_1 + 15 = 0\]

Теперь можем решить это уравнение с помощью дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac = (-11.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 132.25 - 60 = 72.25\]

\[L_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11.5 \pm \sqrt{72.25}}{2} = \frac{11.5 \pm 8.5}{2}\]

Таким образом, получаем два возможных значения для L_1:

\[L_1 = \frac{11.5 + 8.5}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ см}\]

\[L_1 = \frac{11.5 - 8.5}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \ \text{см (отклоняем это решение, так как получилась отрицательная длина)}\]

Таким образом, длина струны до уменьшения составляет 10 см.