Какова длина стороны шестиугольника HC и его площадь, если радиус окружности, вписанной в него, равен

Для решения этой задачи нам необходимо знать только радиус окружности, вписанной в шестиугольник. Обозначим данный радиус как \( r \).

Шестиугольник можно разделить на шесть равносторонних треугольников, так как для вписанного в него шестиугольника все стороны и углы равны между собой.

В каждом из этих треугольников можем провести высоту, которая будет являться радиусом окружности, вписанной в шестиугольник. Так как высота является биссектрисой основания треугольника, она делит его на два равных прямоугольных треугольника.

Зная, что сторона треугольника равна \( a \), мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти длину высоты \( h \):

\[
h = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2 - \frac{1}{4}a^2} = \sqrt{\frac{3}{4}a^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}a
\]

Так как высота является радиусом вписанной окружности, получаем \( r = \frac{\sqrt{3}}{2}a \).

Отсюда можно выразить длину стороны шестиугольника \( a \) через радиус окружности \( r \):

\[
a = \frac{2r}{\sqrt{3}}
\]

Тогда длина стороны шестиугольника \( HC \) равна:

\[
HC = 6a = \frac{12r}{\sqrt{3}}
\]

Чтобы найти площадь шестиугольника, воспользуемся следующей формулой:

\[
Площадь = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2
\]

Подставив значение \( a \), получаем:

\[
Площадь = \frac{\sqrt{3}}{4}\left(\frac{2r}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{4r^2}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}r^2
\]

Итак, длина стороны шестиугольника \( HC \) равна \( \frac{12r}{\sqrt{3}} \), а площадь шестиугольника равна \( \frac{\sqrt{3}}{3}r^2 \).