Какова длина стороны правильного треугольника, окружающего вписанную в квадрат окружность со стороной

Пусть сторона квадрата равна \(a\).

Сначала посмотрим, как вычислить радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной \(a\).

Поскольку окружность вписана в квадрат, она касается каждой стороны квадрата в одной точке. Изобразим это:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
& & \\
\hline
& \bigcirc & \\
\hline
& & \\
\hline
\end{array}
\]

Поскольку окружность касается каждой стороны квадрата в одной точке, можно провести радиусы от центра окружности до точек касания. Эти радиусы будут перпендикулярны к сторонам квадрата и, следовательно, равны половине длины соответствующих сторон квадрата. Так как сторона квадрата равна \(a\), радиус окружности будет равен \(\frac{a}{2}\).

Теперь рассмотрим правильный треугольник, описанный вокруг данной окружности:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
& \Delta & \\
\hline
& \bigcirc & \\
\hline
& & \\
\hline
\end{array}
\]

Правильный треугольник имеет все стороны одинаковой длины, поэтому нам нужно найти длину одной из сторон треугольника, чтобы узнать длину любой другой стороны.

Рассмотрим одну из сторон треугольника, например, сторону, которая проходит через точки касания окружности с квадратом. Проведем эту сторону:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
& \Delta & \\
\hline
& \bigcirc & \\
\hline
\end{array}
\qquad
\begin{array}{c}
| \\
\hline
\end{array}
\qquad
\begin{array}{|c|}
\hline
\\
\hline
\\
\hline
\end{array}
\]

Эта сторона будет равна сумме радиуса окружности и стороны квадрата, которая равна \(\frac{a}{2}\) и \(a\) соответственно. Таким образом, длина этой стороны составляет \(\frac{a}{2} + a = \frac{3a}{2}\).

Таким образом, длина каждой стороны правильного треугольника, окружающего вписанную в квадрат окружность, равна \(\frac{3a}{2}\).