Какова длина стороны основания в правильной треугольной пирамиде PABC, где H является серединой AB, площадь боковой

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать некоторые свойства правильных треугольных пирамид. Давайте рассмотрим каждую часть задачи по порядку.

1. В задаче упоминается, что H является серединой стороны AB. Для правильной треугольной пирамиды, угол между плоскостью основания и боковой стороной является прямым углом. Следовательно, все боковые грани треугольной пирамиды PABC являются прямыми треугольниками, а сторона AB проходит через середину BC (то есть точку H).

2. Площадь боковой поверхности равна 45 см². Чтобы найти длину стороны основания, нам необходимо знать высоту боковой грани. Для этого мы используем формулу для площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды:

$$S_{\text{бок}}=\frac{a\cdot h}{2},$$

где $S_{\text{бок}}$ - площадь боковой поверхности, $a$ - длина стороны основания, $h$ - высота боковой грани.

Подставляя известные значения в эту формулу, получаем:

$$45=\frac{a\cdot h}{2}.$$

3. Также в задаче упоминается, что PN равно 5 см. Мы можем использовать это знание для нахождения высоты боковой грани. Обозначим высоту как $h$, тогда PN является высотой прямоугольного треугольника PHN. А так как прямоугольный треугольник PNH является подобным треугольнику PBC (по признаку угол-прямоугольник-угол), то

$$\frac{h}{PN}=\frac{a}{BC},$$

где $a$ - длина стороны основания, а $BC$ - длина стороны основания треугольника PBC.

Подставим известные значения и решим уравнение для высоты $h$:

$$\frac{h}{5}=\frac{a}{BC}.$$

4. Теперь у нас есть два уравнения:

$$45=\frac{a\cdot h}{2},$$
$$\frac{h}{5}=\frac{a}{BC}.$$

Мы можем использовать метод подстановки, чтобы решить систему уравнений и найти искомую длину стороны основания $a$.начнем с выражения $h$ через $BC$:

$$h=\frac{5a}{BC}.$$

Подставляем это значение в первое уравнение:

$$45=\frac{a\cdot \frac{5a}{BC}}{2}.$$

Упростим это уравнение:

$$\frac{5a^2}{2BC}=45.$$

Домножим уравнение на $\frac{2}{5}$, чтобы избавиться от дроби:

$$a^2=45\cdot \frac{2}{5}\cdot BC.$$

Теперь мы знаем, что уравнение имеет вид $a^2=k\cdot BC$, где $k$ - константа.

5. Мы знаем, что в правильной треугольной пирамиде сторона основания связана со стороной бокового треугольника по формуле $BC=a\cdot \sqrt{3}$. Подставим это в уравнение:

$$a^2=45\cdot \frac{2}{5}\cdot a\cdot \sqrt{3}.$$

Упростим уравнение:

$$a=\sqrt{\frac{45\cdot 2\cdot \sqrt{3}}{5}}.$$

Теперь мы можем вычислить длину стороны основания пирамиды $a$:

$$a=\sqrt{\frac{90\sqrt{3}}{5}}\approx 6.71\text{см}.$$

Таким образом, длина стороны основания в правильной треугольной пирамиде PABC равна примерно 6.71 см.