Какова длина стороны основания в правильной треугольной пирамиде PABC, где H является серединой AB, площадь боковой

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать некоторые свойства правильных треугольных пирамид. Давайте рассмотрим каждую часть задачи по порядку.

1. В задаче упоминается, что H является серединой стороны AB. Для правильной треугольной пирамиды, угол между плоскостью основания и боковой стороной является прямым углом. Следовательно, все боковые грани треугольной пирамиды PABC являются прямыми треугольниками, а сторона AB проходит через середину BC (то есть точку H).

2. Площадь боковой поверхности равна 45 см². Чтобы найти длину стороны основания, нам необходимо знать высоту боковой грани. Для этого мы используем формулу для площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды:

\[ S_{\text{бок}} = \frac{{a \cdot h}}{2}, \]

где \( S_{\text{бок}} \) - площадь боковой поверхности, \( a \) - длина стороны основания, \( h \) - высота боковой грани.

Подставляя известные значения в эту формулу, получаем:

\[ 45 = \frac{{a \cdot h}}{2}. \]

3. Также в задаче упоминается, что PN равно 5 см. Мы можем использовать это знание для нахождения высоты боковой грани. Обозначим высоту как \( h \), тогда PN является высотой прямоугольного треугольника PHN. А так как прямоугольный треугольник PNH является подобным треугольнику PBC (по признаку угол-прямоугольник-угол), то

\[ \frac{h}{PN} = \frac{a}{BC}, \]

где \( a \) - длина стороны основания, а \( BC \) - длина стороны основания треугольника PBC.

Подставим известные значения и решим уравнение для высоты \( h \):

\[ \frac{h}{5} = \frac{a}{BC}. \]

4. Теперь у нас есть два уравнения:

\[ 45 = \frac{{a \cdot h}}{2}, \]
\[ \frac{h}{5} = \frac{a}{BC}. \]

Мы можем использовать метод подстановки, чтобы решить систему уравнений и найти искомую длину стороны основания \( a \).начнем с выражения \( h \) через \( BC \):

\[ h = \frac{{5a}}{{BC}}. \]

Подставляем это значение в первое уравнение:

\[ 45 = \frac{{a \cdot \frac{{5a}}{{BC}}}}{2}. \]

Упростим это уравнение:

\[ \frac{{5a^2}}{{2BC}} = 45. \]

Домножим уравнение на \(\frac{2}{5}\), чтобы избавиться от дроби:

\[ a^2 = 45 \cdot \frac{2}{5} \cdot BC. \]

Теперь мы знаем, что уравнение имеет вид \(a^2 = k \cdot BC\), где \(k\) - константа.

5. Мы знаем, что в правильной треугольной пирамиде сторона основания связана со стороной бокового треугольника по формуле \(BC = a \cdot \sqrt{3}\). Подставим это в уравнение:

\[ a^2 = 45 \cdot \frac{2}{5} \cdot a \cdot \sqrt{3}. \]

Упростим уравнение:

\[ a = \sqrt{\frac{{45 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}}}{{5}}}. \]

Теперь мы можем вычислить длину стороны основания пирамиды \(a\):

\[ a = \sqrt{\frac{{90 \sqrt{3}}}{{5}}} \approx 6.71 \, \text{см}. \]

Таким образом, длина стороны основания в правильной треугольной пирамиде PABC равна примерно 6.71 см.