Какова длина стороны основания правильной треугольной пирамиды, если боковая грань образует угол в 60° с плоскостью

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать свойства правильной треугольной пирамиды. Давайте разберемся пошагово.

1) Для начала, давайте представим правильную треугольную пирамиду с основанием, которое является равносторонним треугольником. Таким образом, все его стороны равны между собой.

2) Теперь, когда у нас есть равносторонний треугольник в основании пирамиды, обратим свой взгляд на боковую грань, которая образует угол 60° с плоскостью основания. Поскольку этот угол является углом между боковой гранью и плоскостью основания, он также является углом между одной из сторон основания и осью пирамиды.

3) В равностороннем треугольнике угол между стороной и осью (в плоскости треугольника) равен 60°. Таким образом, у нас есть сразу два равносторонних треугольника: один образованный боковой гранью и плоскостью основания, и другой образованный основанием пирамиды и осью пирамиды.

4) В равностороннем треугольнике длина стороны равна длине высоты, опущенной из вершины на основание. Таким образом, длина стороны основания равна длине высоты пирамиды.

5) Поскольку у нас имеется два равносторонних треугольника, с одной стороны образованного боковой гранью, а с другой - основанием пирамиды, длина стороны основания равна длине высоты пирамиды. То есть, чтобы найти длину стороны основания, нам нужно найти длину высоты пирамиды.

6) В этом случае, мы знаем, что у нас есть прямой угол между боковой стороной пирамиды и плоскостью основания, и угол между боковой стороной пирамиды и высотой пирамиды равен 60°. Это означает, что у нас имеется прямоугольный треугольник, где гипотенузой является боковая сторона пирамиды, а одной из катетов является высота пирамиды.

7) С использованием тригонометрии, мы можем применить функции синуса и косинуса к углу 60°. Так как косинус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, а синус - отношению противолежащего катета к гипотенузе, мы можем найти соответствующие значения.

8) Зная, что косинус 60° равен \( \frac{1}{2} \) и противолежащий катет равен длине высоты, мы можем использовать формулу косинуса:

\[ \cos(60°) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \]

\[ \frac{1}{2} = \frac{\text{длина высоты}}{\text{длина боковой стороны}} \]

9) Теперь мы можем решить это уравнение относительно длины боковой стороны. Умножив обе стороны уравнения на 2, мы получим:

\[ 1 = \frac{2 \cdot \text{длина высоты}}{\text{длина боковой стороны}} \]

10) Затем, умножив обе стороны уравнения на длину боковой стороны, мы получим:

\[ \text{длина боковой стороны} = 2 \cdot \text{длина высоты} \]

11) Таким образом, мы видим, что длина боковой стороны равна удвоенной длине высоты пирамиды.

На основании этих шагов, мы можем заключить, что длина стороны основания правильной треугольной пирамиды равна удвоенной длине высоты пирамиды.