Какова длина стороны квадрата, вписанного в треугольник с основанием AC= 14 см и высотой BD= 10 см, таким образом

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать свойства подобных фигур. Мы знаем, что если квадрат вписан в треугольник, то его сторона будет параллельна одной из сторон треугольника и будет пересекать другие стороны треугольника.

Давайте рассмотрим треугольник ABC и квадрат KNQP, в котором сторона KN параллельна основанию AC, а вершины L и M лежат на сторонах AB и BC соответственно.

Так как сторона квадрата KN параллельна стороне AC, то сторона KN будет разделять основание AC на две равные части. Из условия задачи известно, что длина основания AC равна 14 см, поэтому длина каждой из частей будет 14/2 = 7 см.

Теперь найдем длину отрезка KL, который является высотой треугольника. Из условия задачи также известно, что длина высоты BD треугольника равна 10 см. Так как сторона квадрата KN пересекает сторону AB треугольника, то отрезок KL будет также делить высоту BD на две равные части. Значит, длина отрезка KL будет 10/2 = 5 см.

Теперь рассмотрим треугольник KLM, в котором сторона KL является высотой. Мы знаем, что сторона квадрата KN пересекает сторону BC треугольника в точке M. Следовательно, точка M делит сторону BC на две части, пропорциональные соответствующим частям KL и LM.

Так как длина отрезка KL равна 5 см, а длина стороны BC равна 14 см, то длина отрезка LM будет равна (5/10) * 14 = 7 см.

Таким образом, мы получили, что сторона квадрата KN равна 7 см. Ответом является число 7 в несокращенной дроби.

\[Ответ: 7 см\]