Какова длина стороны BC прямоугольной трапеции ABCD (A=90°), если известно, что GH=5 и AD=7, а диагонали пересекаются

Данная задача имеет несколько условий, поэтому предлагаю разобрать ее по шагам:

Шаг 1: Введем обозначения и проведем необходимые построения. Пусть точка M является серединой стороны BC, а O - центр окружности, касающейся стороны CD в точке K. Тогда длина стороны BC будет равна BM + MC.

Шаг 2: Посмотрим на треугольник BOM и трапецию ADCB. Эти фигуры подобны по трем углам, так как обе имеют прямой угол в точке B, а угол BMO и угол ACD являются соответственными углами. Это означает, что соотношение длин их сторон будет одинаковым.

Шаг 3: Используем подобие треугольников BOM и ADC. Поскольку соотношение сторон треугольников равно соотношению сторон трапеции, можно записать следующее уравнение:

\(\frac{{BM}}{{AM}} = \frac{{CD}}{{AD}}\)

Заметим, что BM = MC, так как точка M является серединой стороны BC.

Шаг 4: Подставим известные значения в уравнение. Из условия задачи дано, что AD = 7 и GH = 5. Заменим BM на \(\frac{{BC}}{2}\) и AM на \(\frac{{BC}}{2} - 5\) (так как M находится на расстоянии 5 от GH).

\(\frac{{\frac{{BC}}{2}}}{{\frac{{BC}}{2} - 5}} = \frac{{CD}}{{7}}\)

Шаг 5: Решим уравнение для определения значений BC и CD. Упростим уравнение и избавимся от дроби, умножив оба выражения на \((\frac{{BC}}{2} - 5)\):

\(\frac{{BC}}{2} = \frac{{CD}}{{7}} \cdot (\frac{{BC}}{2} - 5)\)

Раскроем скобки:

\(\frac{{BC}}{2} = \frac{{CD \cdot BC}}{14} - \frac{{5CD}}{7}\)

Умножим оба выражения на 14, чтобы избавиться от знаменателя:

\(7BC = CD \cdot BC - 10CD\)

Шаг 6: Теперь необходимо найти связь между длинами сторон BC и CD. Заметим, что треугольник BCD равнобедренный, так как CD является диагональю прямоугольной трапеции ABCD. По свойству равнобедренного треугольника, мы можем установить следующее соотношение:

\(BC = 2 \cdot CD\)

Шаг 7: Подставим это соотношение в уравнение:

\(7 \cdot 2 \cdot CD = CD \cdot (2 \cdot CD) - 10CD\)

Упростим уравнение:

\(14CD = 2CD^2 - 10CD\)

Шаг 8: Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

\(2CD^2 - 24CD = 0\)

Разделим уравнение на 2CD, чтобы получить квадратное уравнение:

\(CD - 12 = 0\)

Шаг 9: Решим квадратное уравнение:

\(CD = 12\)

Шаг 10: Подставим найденное значение CD в соотношение из шага 6, чтобы найти значение BC:

\(BC = 2 \cdot CD = 2 \cdot 12 = 24\)

Таким образом, длина стороны BC прямоугольной трапеции ABCD равна 24.