Какова длина стороны АС треугольника АВС, если на плоскость, проходящую через вершину в треугольнике АВС

Для решения данной задачи нам потребуется некоторая геометрическая экспертиза.

Поскольку прямоугольный треугольник А1ВС1 проецируется на плоскость, проходящую через вершину треугольника АВС, то можно заметить, что проекция его гипотенузы С1А1 будет лежать на стороне СА треугольника АВС.

Таким образом, нам нужно найти длину стороны АС. Допустим, эта длина равна х.

По условию задачи, сторона ВА1 прямоугольного треугольника А1ВС1 равна 9 см, а сторона ВС1 равна 12 см.

Так как фигуры АВС и А1ВС1 подобны, мы можем установить пропорцию между их сторонами:

\(\frac{AB}{A1B1} = \frac{AC}{A1C1} = \frac{BC}{B1C1}\)

Также мы знаем, что прямые АС и А1С1 параллельны и не совпадают. Следовательно, угол АС1С равен 90 градусов.

Применяя теорему Пифагора к треугольнику А1ВС1, получим:

\(A1C1^2 = A1B1^2 + B1C1^2\)

Подставляя известные значения, получим:

\(A1C1^2 = 9^2 + 12^2\)
\(A1C1^2 = 81 + 144\)
\(A1C1^2 = 225\)
\(A1C1 = \sqrt{225}\)
\(A1C1 = 15\)

Теперь мы можем составить пропорцию:

\(\frac{AC}{A1C1} = \frac{BC}{B1C1}\)

Подставляя известные значения и длину стороны АС равную х в пропорцию, получим:

\(\frac{x}{15} = \frac{12}{9}\)

Перемножим обе части и решим полученное уравнение для х:

\(9x = 12 \cdot 15\)
\(9x = 180\)
\(x = \frac{180}{9}\)
\(x = 20\)

Таким образом, длина стороны АС треугольника АВС равна 20 см.