Какова длина стороны AC в треугольнике ABC, где угол C равен 90°, AB = 50 и cos A = 7/25?

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему косинусов, которая связывает длины сторон треугольника с углами.

В данной задаче, у нас есть угол C, который равен 90°, и сторона AB, которая равна 50. Мы также знаем значение cos A, оно равно 7/25.

Теорема косинусов гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C\]

где c - длина стороны противолежащей углу C, a и b - длины остальных двух сторон.

Мы можем заменить значения, получая:

\[AC^2 = 50^2 + b^2 - 2 \cdot 50 \cdot b \cdot \cos 90°\]

Так как cos 90° равен 0, это дает нам:

\[AC^2 = 50^2 + b^2 - 0\]

\[AC^2 = 2500 + b^2\]

Затем мы можем использовать другую информацию, которую у нас есть - значение cos A. Мы знаем, что

\[\cos A = \frac{7}{25}\]

Теперь мы можем использовать определение косинуса:

\[\cos A = \frac{b}{c}\]

Подставим значение cos A:

\[\frac{7}{25} = \frac{b}{AC}\]

Отсюда можно найти значение b:

\[b = \frac{7}{25} \cdot AC\]

Теперь мы можем подставить это значение для b в предыдущее уравнение:

\[AC^2 = 2500 + \left(\frac{7}{25} \cdot AC\right)^2\]

Чтобы найти значение AC, нам нужно решить это уравнение. Для начала, раскроем скобки и упростим:

\[AC^2 = 2500 + \frac{49}{625} \cdot AC^2\]

\[AC^2 - \frac{49}{625} \cdot AC^2 = 2500\]

\[\frac{576}{625} \cdot AC^2 = 2500\]

Теперь найдем значение AC, разделив обе части уравнения на \(\frac{576}{625}\):

\[AC^2 = \frac{2500}{\frac{576}{625}}\]

\[AC^2 = \frac{2500 \cdot 625}{576}\]

\[AC^2 = \frac{1562500}{576}\]

\[AC^2 = 2717.01\]

Используя квадратный корень, мы можем найти значение AC:

\[AC \approx \sqrt{2717.01}\]

\[AC \approx 52.14\]

Таким образом, длина стороны AC примерно равна 52.14.